¿Cómo demuestro que la suma: $1/\ln(n)^p$ diverge para $p>1$

Question

Así que necesito demostrar que la suma infinita $\frac{1}{(\ln(n)^p)}$ diverge para todos los valores de $p$ . Conseguí probarlo para $p\leq 1$ mediante una prueba comparativa con $1/n$ . pero para esto no encuentro la forma de demostrar que diverge para $p>1$ .

Answer 1

En ESTA RESPUESTA Demostré utilizando sólo la definición de límite de la función exponencial y la desigualdad de Bernoulli que la función logaritmo satisface las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1 <x\tag 1$$

para $0<x$ .

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Utilización de la propiedad $\log(x^a)=a\log(x)$ en $(1)$ obtenemos para $a>0$

$$\log(x)<\frac{x^a}{a}\tag2 $$

Para $x>n>1$ tenemos de $(2)$

$$\frac{1}{\log^p(n)}>\frac{a}{n^{ap}}\tag 1$$

Para cualquier $p>1$ podemos tomar $a=1/p$ para que $ap=1$ . Por lo tanto, la serie $\sum_{n=1}\frac{1}{\log^p(n)}$ domina la serie, $\frac1p\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n}$ que diverge. La prueba de comparación garantiza que la serie $\sum_{n=1}\frac{1}{\log^p(n)}$ también diverge.

Answer 2

Utilícelo para $n$ suficientemente grande $\ln^p n < n$ y compare su serie con $\sum 1/n$ .

Answer 3

Puedes demostrarlo utilizando el siguiente teorema

Teorema (la prueba integral): Sea $f(x)$ sea una función continua de números reales que sea monótona decreciente. Entonces para cualquier $N\in\mathbb N$ , $\sum_{n=N}^\infty f(n)$ converge si y sólo si $\int_N^\infty f(x)dx$ es finito.