Dos definiciones de $C_0(X)$ . ¿Coinciden?

Question

Sea $X$ sea un espacio topológico. Entonces podemos definir $$C_0(X):=\{f \in C(X)\mid \forall \epsilon > 0: \exists K \subseteq X \mathrm{\ compact}: \forall x \notin K: |f(x)| < \epsilon\}$$

Si $X$ es localmente compacta, también he visto la siguiente definición, si $X$ es localmente compacto : $$C_0'(X) = \{f \in C(X)\mid \forall \epsilon > 0: \{x \in X: |f(x) | \geq \epsilon\} \mathrm{\ compact}\}$$

¿Cuál es la relación entre estas dos definiciones de $C_0?$ Claramente $C_0'(X) \subseteq C_0(X)$ . ¿Tenemos igualdad? ¿Por qué exigimos que $X$ es localmente compacta en la segunda definición?

Answer 1

Sí, las dos definiciones son equivalentes, incluso sin asumir la compacidad local. (Una terminología habitual para describir este comportamiento es decir que tal función desaparece en el infinito .)

Para ver que $C_0'(X)\subseteq C_0(X)$ Toma $f\in C_0'(X)$ . Entonces, $K_{\varepsilon}\equiv\{x\in X\,|\,|f(x)|\geq\varepsilon\}$ es compacto para cada $\varepsilon>0$ . Utilice este $K_{\varepsilon}$ para verificar que $f\in C_0(X)$ .

A la inversa, supongamos que $f\in C_0(X)$ y fijar un $\varepsilon>0$ . Debe existir algún compacto $K\subseteq X$ tal que $x\in X\setminus K$ implica $|f(x)|<\varepsilon$ . Por lo tanto, el conjunto $E\equiv\{x\in X\,|\,|f(x)|\geq\varepsilon\}$ es un subconjunto de $K$ . Pero $E$ es cerrado debido a la continuidad de $f$ y un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto en cualquier espacio topológico. La conclusión es que $E$ es compacta, lo que implica que $f\in C_0'(X)$ .