Teoría de respuesta lineal para la ecuación de Gross Pitaevskii

Question

Estoy tratando de linealizar la siguiente GP eq: \begin{equation} i\partial_{t}\psi(r,t)=\left[-\frac{\nabla^{2}}{2m}+g\left|\psi(r,t)\right|^{2}+V_{d}(r)\right]\psi(r,t) \end{equation}

El ansatz para la función de onda de campo medio es: \begin{equation} \psi_{0}(r,t)=\psi_{0}\, e^{i(k_{0}r-\omega_{0}t)} \end{equation}

A esto hay que añadir las fluctuaciones: \begin{equation} \psi(r,t)=\big[\psi_{0}(r)+\delta\psi(r,t)\big]\, e^{-i\omega_{0}t} \end{equation}

Introduciendo esto en la ecuación original obtenemos a orden 0 que \begin{equation} \omega_{0}-\frac{k_{0}^{2}}{2m}=g|\psi_0|^2. \end{equation}

Expandiendo a primer orden (respuesta lineal) obtenemos \begin{equation} i\partial_{t}\delta\vec{\psi}=\mathcal{L}\cdot\delta\vec{\psi}+\vec{F}_{d} \end{equation}

con \begin{equation} \delta\vec{\psi}(r,t)=\left(\begin{array}{c} \delta\psi(r,t)\\ \delta\psi^{\star}(r,t) \end{array} \(derecha) \fin{ecuación}

\begin{equation} \vec{F}_{d}(r)=V_{d}(r)\,\left(\begin{array}{c} \psi_{0}(r)\\ -\psi_{0}^{*}(r) \end{array} \(derecha) \fin{ecuación}

\begin{equation} \mathcal{L}=\left(\begin{array}{cc} -\frac{k_{0}^{2}}{2m}-\frac{\nabla^{2}}{2m}+g|\psi_{0}|^2 & g\psi_{0}^{2}\, e^{2ik_{0}r}\\ -g\psi_{0}^{2\star}\, e^{-2ik_{0}r} & -\left(-\frac{k_{0}^{2}}{2m}-\frac{\nabla^{2}}{2m}+g|\psi_{0}|^2\right) \end{array} \(derecha) \fin{ecuación}

El objetivo es determinar $\delta\vec{\psi}(r,t)$ diagonalizando $\mathcal{L}$ y ampliando los modos propios correspondientes. Estoy tratando de seguir estas notas http://arxiv.org/abs/cond-mat/0105058v1 que proporcionan el formalismo general a partir de la página 66.

Sin embargo, el autor afirma $\mathcal{L}$ no es diagonalizable en general, por lo que hay que hacer el truco de dividir $\delta\psi$ en una parte a lo largo de $\psi_0$ y una parte ortogonal a ella (véase la ec. 229). Esto conduce a un nuevo operador $\mathcal{L}$ dado por (235) que es diagonalizable.

¿Cómo puedo aplicar este formalismo a mi problema? ¿Cómo construyo el nuevo operador $\mathcal{L}$ ? ¿Cómo se tratan los operadores de proyección (233) y (234), etc.?

Answer 1

Disculpas por la respuesta tan tardía. Me he unido recientemente a esta comunidad y estoy publicando esta respuesta en beneficio de la OP de esta pregunta sin respuesta.

El decaimiento de una densidad de partículas gobernada por la dinámica de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) hasta la densidad de equilibrio es un tema bien conocido en mecánica estadística, para el que puede consultarse el libro de Risken . Para el proceso estocástico $x_s \sim p(s,x)$ para todos $0 \leq s$ con la dinámica SDE $d x_s = b(x_s) ds + \sigma dw_s$ y la correspondiente ecuación diferencial parcial (EDP) lineal de Fokker-Planck (FP) dinámica $\partial_t p = \mathcal{L}^\dagger p$ la cuestión es si cualquier densidad inicial decadencia a la densidad invariante $p^\infty(x)$ que resuelve la ecuación estacionaria FP y ¿a qué ritmo? Este problema se ha resuelto para determinados sistemas, a saber, Sistemas Ornstein-Uhlenbeck y Langevin . La idea clave es considerar la densidad inicial como una perturbación del equilibrio dado como $p(0,x) = p^\infty(x) + p^\infty(x) \tilde{p}(0,x)$ y demostrar que $\tilde{p}(s,x)$ desaparece bajo el límite $s \rightarrow +\infty$ utilizando las propiedades propias del generador $\mathcal{L}$ de la SDE que es, de hecho, el adjunto del operador FP directo $\mathcal{L}$ . Por lo tanto, las propiedades de la dinámica de la SDE determinan si podemos o no demostrar que la densidad de equilibrio es efectivamente alcanzada por partículas con cualquier densidad inicial arbitraria.

Del mismo modo, en el caso de la ecuación lineal de Schrödinger, se han explorado las propiedades propias y los resultados de estabilidad correspondientes, en particular, considere el libro de Berezen sobre este tema, con una exploración exhaustiva para varias clases de potenciales de Schrödinger. Más recientemente, este análisis ha encontrado aplicación en la teoría de los juegos de campo medio (MFG) a partir del trabajo seminal del dinámica integradora (similar al caso Ornstein-Uhlenbeck en la literatura física) y más recientemente en el caso de Dinámica de Langevin . El primer trabajo considera el caso de la dinámica SDE de integrador simple para una clase particular de MFG, que muestra fuertes analogías con la ecuación no lineal de Schrödinger y trata explícitamente la ecuación de Gross-Pitaevskii. El segundo trabajo es más general en términos de la dinámica SDE no lineal de Langevin para una clase general de sistemas de gran población, pero muestra resultados de estabilidad utilizando la ecuación lineal de Schrödinger.

Más concretamente, las referencias citadas tratan efectivamente de la diagonalización de sistemas de EDP que corresponden a la mencionada en la pregunta original, siendo la idea clave la linealización y posterior análisis lineal utilizando las propiedades propias de los operadores lineales que gobiernan la dinámica local próxima al equilibrio.