$\{1,1\}=\{1\}$, el origen de esta convención

Question

¿Hay algún libro que explícitamente contener la convención de que una representación del conjunto que contienen elementos repetidos es el mismo que el uno sin elementos repetidos?

Como $\{1,1,2,3\} = \{1,2,3\}$.

He mirado más de un par de libros y no mencionar tal cosa. (Wikipedia, pero no cita la fuente).

En mis años de aprendizaje de las matemáticas en los EEUU y Hungría, este convenio es conocido y aplicado. Sin embargo, recientemente me di cuenta de algunos estudiantes Chinos afirman que ellos nunca han visto esto antes, y no recuerdo que lo vi en ningún libro.

Nunca he encontrado un libro que dice explícitamente cuáles son las reglas en la forma en $\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\}$ especificar un conjunto. Algunas personas creen que sólo se puede especificar un conjunto si $a_i\neq a_j \Leftrightarrow i\neq j$. La convención muestra que no tiene que ser satisfecho.

Answer 1

Al menos en ZFC, hay algo que se llama el axioma de extensionality que afirma que si $A$ $B$ son conjuntos con los mismos elementos, entonces son el mismo conjunto, $A = B$.

En tu ejemplo, ambos conjuntos sólo contiene tres objetos y exactamente los mismos tres objetos de $1, 2, 3$. De ahí que el mismo conjunto de modo que podemos escribir $\{1,1,2,3\} = \{1, 2, 3\}$.

Answer 2

Que todos los lazos de la espalda en cómo esta especificación de conjuntos se definen.

Una desordenada tupla $\{a_1,a_2,a_3,a_4\dots\}$ se define como $\{x:x=a_1 \lor x=a_2 \lor x=a_3 \lor x=a_4 \lor\dots\}$.

Por lo tanto, por la presente convención, $\{1,1\}$ = $\{x:x=1 \lor x=1 \}$

Esto es igual a $\{ x : x = 1 \}$ por la idempotencia de $\lor$, por lo que

$\{1,1\} = \{1\}$

Answer 3

Me echó un rápido vistazo a través de algunos de los más probables candidatos en mis estanterías. El siguiente introductorio de la matemática discreta todos los textos explícitamente señalar, con al menos un ejemplo, que ni el orden de inclusión en la lista, ni el número de veces que un elemento esté indicado hace ninguna diferencia a la identidad de un conjunto:

• Winfried K. Grassman Y Jean-Paul Tremblay, de la Lógica y la Matemática Discreta: Un Equipo de la Perspectiva de la Ciencia
• Ralph P. Grimaldi, Discreta y Combinatoria de las Matemáticas: de la aplicación de Una Introducción, 4ª ed.
• Richard Johnsonbaugh, Matemáticas Discretas, 4ª ed.
• Bernard Kolman, Robert C. Busby, Y Sharon Ross, Discretas Estructuras Matemáticas para Ciencias de la computación, 3ª ed.
• Edward Scheinerman, Matemáticas: Una Discreta Introducción, 2ª ed.

Answer 4

Aquí está uno de los muchos ejemplos que he encontrado buscando en Google Libros para set theory ordered pair. Aparece en la página 23 de la Ingenua Teoría de conjuntos por Paul Halmos. Este conocido libro dice:

El par ordenado de un y b... es el conjunto $(a, b)$ definido por: $$(a, b) = \{\{a\}, \{a,b\}\}.$$ ... Observamos primero que si $a$ $b$ pasan a ser iguales, entonces el par ordenado $(a, b)$ es el mismo que el singleton $\{\{a\}\}$.

Answer 5

Para variar, voy a notar que tanto magma y python tiene un conjunto constructor utilizando una lista separada por comas rodeado por llaves, y ambos permiten entradas repetidas. Por ejemplo, en python:

>>> {1,1,2,3}
{1, 2, 3}
>>> {3,2,1} == {1,1,2,3}
True

Mathematica, por otro lado, utiliza llaves para construir listas en lugar de conjuntos, por lo que se comportan de manera diferente. Los inicializadores de matriz en C también utiliza llaves -- pero de nuevo está la creación de las listas, no se establece.