$$\frac{d^2x}{dt^2} - a^2x + \frac{k}{x^2} = 0$$ ¿Puede alguien ayudarme a resolver esta EDO?
¿De qué tipo de EDO se trata? ¿Existe una solución general? Si no es así, por favor, ayúdame a resolverlo numéricamente.
Gracias
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$$\frac{d^2x}{dt^2} - a^2x + \frac{k}{x^2} = 0$$ $$2\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt} - 2a^2x\frac{dx}{dt} + 2\frac{k}{x^2}\frac{dx}{dt} = 0$$ $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-a^2x^2-\frac{2k}{x}=c_1$$ En el caso particular $c_1=0$ no es muy difícil resolver la EDO.
En el caso general : $$\frac{dx}{dt}=\pm \sqrt{a^2x^2+\frac{2k}{x}+c_1}$$ $$t=\pm\int \frac{dx}{\sqrt{a^2x^2+\frac{2k}{x}+c_1}}+c_2$$ $$t=\pm\int \frac{x\:dx}{\sqrt{a^2x^4+2kx+c_1x^2}}+c_2$$ Hay que resolver la ecuación : $\quad a^2x^4+2kx+c_1x^2=0\quad$ para $x$ .
Esto es analíticamente posible. Por supuesto, las raíces $0$ , $r_1$ , $r_2$ y $r_3$ son feas, pero sin embargo pueden escribirse explícitamente. Así que $r_1$ , $r_2$ y $r_3$ se consideran conocidos. $$t=\pm\int \frac{x\:dx}{\sqrt{x(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)}}+c_2$$ La integral puede expresarse en términos de funciones elípticas. Como soy un poco vago, he dejado que WolframAlpha hiciera el trabajo por mí. Después de unas cuantas simplificaciones :
La solución de la EDO se obtiene de la forma inversa : $\quad t(x)$ .
La función inversa daría $x(t)$ . Pero la forma explícita no puede derivarse en términos de funciones estándar. Por lo tanto, se requiere el cálculo numérico.
Debería ser más sencillo utilizar el cálculo numérico directamente para resolver la EDO en lugar de la forma analítica anterior. Sobre este tema, la literatura es extensa. https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_methods_for_ordinary_differential_equations
