Estoy resolviendo un problema que involucra una gran masa central $M$ y a su alrededor una masa esféricamente simétrica de densidad constante $\rho$ . La fuerza sobre una masa a una distancia $r$ desde el centro se puede demostrar que es: $ F = \frac{-GMm}{r^2} - \frac{4\pi\rho Gmr}{3}. $
Me disgusta mucho la forma en que se enseña esto. Si fuera por mí, no lo sería. Sí, es mecánica newtoniana y funciona bastante bien cuando dejas caer un ladrillo. Pero, en mi opinión, transmite un mensaje erróneo sobre la masa y crea una impresión de fuerzas de acción a distancia contra la que Newton estaba totalmente en contra. Véase su carta de 1692 a Richard Bentley:
"Que la gravedad sea innata inherente y {esencial} a la materia de modo que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través del vacío sin la mediación de ninguna otra cosa por y a través de la cual su acción o fuerza {pueda} ser transmitida de uno a otro es para mí un absurdo tan grande que creo que ningún hombre que tenga en materia filosófica alguna facultad competente de pensar puede caer jamás en él".
Te recomendaría que volvieras a una situación más simple en la que sólo tengas tu masa central M y tu masa más pequeña m. Aclara eso, luego aborda la cáscara esférica y luego combínalas.
De ahí su potencial: $ U = - \int F \cdot dr = Gm( \frac{2\pi\rho}{3} r - \frac{M}{r} + C )$ où $C$ es una constante de integración. Mi pregunta es: ¿qué debe $C$ ¿ser? Para el tipo de potencial 1/r se acostumbra a tener U( $\infty$ ) = 0, mientras que para el tipo r^2 comúnmente tenemos U(0) = 0. ¿Hay alguna opción inteligente aquí? ¿Quizás donde las fuerzas suman cero?
Esto tampoco me gusta. El potencial gravitatorio es lo que es, y la fuerza sólo existe cuando hay un gradiente en el potencial. Así que decir que el potencial es la integral de la fuerza es volver las cosas a su sitio. Si estuvieras a medio camino entre dos estrellas, sufrirías una dilatación gravitatoria del tiempo relacionada con la "profundidad" del potencial, pero no habría fuerza. Lo mismo ocurriría si te encontraras a medio camino entre dos estrellas más masivas. La ausencia de fuerza no dice nada sobre el potencial.
Dejándolo en la forma anterior tengo la sensación de que los dos términos tienen diferentes puntos cero... ¿Está bien?
No lo creo. En mi opinión, ni siquiera está bien poner el potencial a cero en el infinito y luego decir que la energía potencial es negativa. Sé que esta es la convención, ver el potencial gravitatorio Artículo de Wikipedia. Pero no hay cosas que consistan en energía negativa. Se dice que la energía vinculante es negativa, pero no hay nada que consista en energía negativa. Hay menos masa-energía, eso es todo, ver la Wikipedia artículo sobre la energía vinculante que habla del déficit de masa: "Por ejemplo, si dos objetos se atraen en el espacio a través de su campo gravitatorio, la fuerza de atracción acelera los objetos, aumentando su velocidad, lo que convierte su energía potencial (gravedad) en energía cinética" . También dice "Esta masa que falta puede perderse durante el proceso de unión como energía en forma de calor o luz, correspondiendo la energía eliminada a la masa eliminada mediante la ecuación de Einstein E = mc²" .
Te falta masa, porque al caer el cuerpo, la energía potencial en forma de su masa-energía se convierte en energía cinética. Si esto no ocurriera, el cuerpo no caería. Afecta más a la masa pequeña que a la grande, porque la grande no tiene movimiento perceptible. Así que su m no es constante. Así que las dos expresiones de tu pregunta son "aproximaciones newtonianas". En otras palabras, son equivocado . En cuanto a lo que debería ser C, me resulta difícil decirlo.
