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1+i es primo en Z[i]

¿Cómo se demuestra esta afirmación?

Puedo demostrar que 1+i es irreducible utilizando la función de norma, es decir a2b2n .

Intenté demostrar que el ideal (1+i) es de primera, pero aún así se quedó corto.

¿Es posible demostrar que Z[i]/(1+i) ¿es un dominio integral?

4voto

rschwieb Puntos 60669

¿Es posible demostrar que Z[i]/(1+i) es un dominio integral?

Sí. Usted debe ser fácilmente capaz de ver que Z[i]/(1+i)Z/2Z .

Si te sirve de ayuda, puedes refundir Z[i]/(1+i) como Z[x]/(x2+1,1+x) .

1voto

Bernard Puntos 34415

N(1+i)=2 que es primo, y la norma es multiplicativa. Si 1+i fueran compuestos, su norma también lo sería.

Para demostrar 1+i es primo, la más sencilla consiste en demostrar que los enteros de Gauß son a Euclidean domain es decir, para cualquier a+ib,c+idZ[i] existe q,rZ[i] tal que a+bi=q(c+di)+rN(r)<N(c+di) Para probarlo, tienes que demostrar que existe un entero de Gauß q tal que N(a+bic+diq)<1. El resultado será Z[i] es un P.I.D., de modo que los elementos irreducibles generan un ideal primo.

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