$1+i$ es primo en $\mathbb Z[i]$

Question

¿Cómo se demuestra esta afirmación?

Puedo demostrar que $1+i$ es irreducible utilizando la función de norma, es decir $a^2-b^2n$ .

Intenté demostrar que el ideal $(1+i)$ es de primera, pero aún así se quedó corto.

¿Es posible demostrar que $\mathbb Z[i]/(1+i)$ ¿es un dominio integral?

Answer 1

¿Es posible demostrar que Z[i]/(1+i) es un dominio integral?

Sí. Usted debe ser fácilmente capaz de ver que $\mathbb Z[i]/(1+i)\cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ .

Si te sirve de ayuda, puedes refundir $\mathbb Z[i]/(1+i)$ como $\mathbb Z[x]/(x^2+1, 1+x)$ .

Answer 2

$N(1+i)=2$ que es primo, y la norma es multiplicativa. Si $1+i$ fueran compuestos, su norma también lo sería.

Para demostrar $1+i$ es primo, la más sencilla consiste en demostrar que los enteros de Gauß son a Euclidean domain es decir, para cualquier $a+ib, c+id\in \mathbf Z[i]$ existe $q, r\in \mathbf Z[i]$ tal que $$a+bi=q(c+di)+r \qquad N(r)< N(c+di)$$ Para probarlo, tienes que demostrar que existe un entero de Gauß $q$ tal que $$N\biggl(\frac{a+bi}{c+di}-q\biggr)< 1. $$ El resultado será $\mathbf Z[i]$ es un P.I.D., de modo que los elementos irreducibles generan un ideal primo.