Sea $p$ denotan la función de densidad de la variable aleatoria $X$ y definir $Y = X^{2}$ . Demuestre que
\begin{equation} \mathbb{E}(X|Y = y) = \frac{\sqrt{y}p(\sqrt{y}) - \sqrt{y}p(-\sqrt{y})}{p(\sqrt{y}) + p(-\sqrt{y})}. \end{equation} Este fue un ejercicio hace muchos años en un examen sin solución. ¿Alguien puede probarlo?
En $y=0$ entonces $X^2=y$ significa $X$ es $0$ .
En $y>0$ y $X^2=y$ entonces $X$ puede tener dos valores posibles, $+\surd y$ y $-\surd y$ con probabilidades de $p(\surd y):p(-\surd y)$ .
La función de masa de probabilidad para $X$ bajo esta condición es por lo tanto:
$$\mathsf P(X{=}x\mid X^2{=}y)~=~\phantom{\dfrac{1}{p(\surd y)+p(-\surd y)}\times\begin{cases}1&:& x=0,y=0\\[1ex]p(+\surd y)&:& x=+\surd y~, y\neq 0\\[1ex]p(-\surd y)&:&x=-\surd y~, y\neq 0\\[1ex] 0 &:& \textsf{otherwise}\end{cases}}$$
Todo lo demás no es más que aplicar la definición de expectativa.
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