¿Puede algo ser indemostrable, pero demostrarse que no lo es?

Question

Estaba pensando en el teorema de incompletitud. En un libro decía que digamos que el RH podría ser indemostrable y que un matemático podría estar trabajando en un problema que es indemostrable. Pero, me preguntaba si es incluso peor que eso.

¿Existen problemas tales que es indemostrable, pero no se puede demostrar que es indemostrable? Entonces el problema no podría ser resuelto por un Matemático y el Matemático nunca sabrá si puede ser resuelto.

Answer 1

Sea $\gamma_{PA}$ sea la sentencia de Gödel para $PA$ y que $\mathbf{Proof}_{PA}(\theta,y)$ sea el predicado que dice $y$ codifica una prueba para $\theta$ de $PA$ . Entonces tenemos

$$ \mathbb{N} \models \gamma_{PA} \longleftrightarrow (\forall y) \neg \mathbf{Proof}_{PA}(\theta,y)$$

A partir de la demostración del primer teorema de incompletitud, sabemos que

$$ PA \nvdash \gamma_{PA}, ~~~ PA \nvdash \neg \gamma_{PA}$$

Así $\mathbb{N} \models \gamma_{PA}$ por lo que la sentencia Gödel es "verdadera", aunque no demostrable en $PA$ .

Ahora, dejemos que $\square_{PA}(\theta)$ es el predicado que establece que $\theta$ es demostrable en $PA$ . Supongamos que

$$PA \vdash \neg \square_{PA}(\gamma_{PA})$$

Entonces $PA$ podría demostrar que $PA$ no puede probar algo, y por lo tanto

$$PA \vdash \mathbf{Const}_{PA}$$

lo que contradice el Segundo Teorema de Incompletitud.