¿El grupo ley del toro complejo es divisible?

Question

Necesito ayuda con este ejercicio:

Demuestra que la ley de grupo de un toro complejo (la definición que tengo es la del libro de Álgebra de curvas y superficies de Riemann de Rick Miranda, la que él construye a partir de un retículo) X es divisible: para cualquier punto $p\in X$ y cualquier entero $n\geq 1$ existe un punto $q\in X$ tal que $n*q=p$. De hecho, muestra que hay exactamente $n^2$ puntos de este tipo.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $X=\mathbb{C}/L$ donde $L=\{m_1\omega_1+m_2 \omega_2: m_1, m_2\in\mathbb{Z}\}$ es una retícula, es decir, $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$. Supongamos que $p\in X$ y se da $n\geq 1$. Podemos escribir $p=\lambda_{1}\omega_{1}+\lambda_{2}\omega_{2}+L$ (¡nota que $p$ es un cociente!) para $\lambda_{1}, \lambda_{2}\in [0, 1)$ únicos. Entonces para cualquier entero $k_{1}, k_{2}\in [0, n-1]$ $$ n\underbrace{\left( \frac{k_{1} + \lambda_1}{n}\omega_{1}+ \frac{k_{2} + \lambda_2}{n}\omega_{2}+L\right)}_{=q} = p $$ Esto da $n^2$ soluciones en $X$ para $n \cdot q = p$. Estas soluciones son distintas porque si $$\frac{k_{1} + \lambda_1}{n}\omega_{1}+ \frac{k_{2} + \lambda_2}{n}\omega_{2}+L = \frac{k'_{1} + \lambda_1}{n}\omega_{1}+ \frac{k'_{2} + \lambda_2}{n}\omega_{2}+L$$ Entonces $$\frac{k_{1}-k'_{1}}{n}\omega_1 + \frac{k_2-k'_2}{n}\omega_2 = m_1\omega_1+m_2\omega_2$$ para algunos enteros $m_1$ y $m_2$. Por la independencia lineal de $\omega_1$ y $\omega_2$, esto obliga a $\dfrac{k_i-k'_i}{n}=m_i$ para $i=1, 2$. Por lo tanto, $k_i=k'_i$; aquí estamos usando el hecho de que $k_i, k'_i\in [0, n-1]$.

¿Cómo sabemos que obtuvimos todas las soluciones? Bueno, si $n q = p$, entonces expresamos $q=\delta_{1} \omega_{1}+\delta_{2}\omega_{2} + L$ para algunos $\delta_1, \delta_{2}$. Obtenemos $$ n\delta_{1}\omega_{1}+n\delta_{2}\omega_{2}+L = \lambda_{1}\omega_{1}+\lambda_{2}\omega_{2}+L$$ Consecuentemente, existen enteros $m_{1}$ y $m_{2}$ tales que $$ (n\delta_{1}-\lambda_1)\omega_{1}+(n\delta_{2}-\lambda_2)\omega_{2}=m_{1}\omega_{1}+m_{2}\omega_{2} $$ Por la independencia lineal de $\omega_1$ y $\omega_{2}$, obtenemos $n\delta_i - \lambda_i= m_{i}$ para $i=1, 2$. Así que $\delta_{i}=\dfrac{m_{i}}{n}+\dfrac{\lambda_i}{n}$. Entonces $$q=\delta_{1} \omega_{1}+\delta_{2}\omega_{2} + L = \frac{k_{1} + \lambda_1}{n}\omega_{1}+ \frac{k_{2} + \lambda_2}{n}\omega_{2}+L$$ donde $k_{i}\equiv m_i \text{ (mod } n)$ satisfaciendo $k_{i}\in [0, n-1]$ para $i=1, 2$.