¿Una constante en la acción tiene siempre consecuencias inobservables en mecánica clásica?

Question

Fondo

Así que en mecánica clásica, según tengo entendido, para la acción utilizando un principio de mínima acción se pueden obtener las ecuaciones del movimiento. Añadiendo una constante a la acción no cambia nada.

Sin embargo, el argumento anterior se basa en la noción de continuidad y, por tanto, falla en las colisiones. Por ejemplo, si mi sistema físico es una pelota vista a $2$ puntos bajo ninguna otra fuerza entonces el principio de menor acción predice que la trayectoria tomada debe ser una línea recta (mientras que podría haber rebotado de una pared también)

(donde $t$ es el tiempo y $x$ es la posición)

Pregunta

Ahora, entiendo por qué es que mediante la adición de una constante en la densidad de acción siempre tienen consecuencias no observables si se asume la continuidad. Mi pregunta es ¿cómo se demuestra esto cuando también hay discontinuidades?

Mi intento

Consideremos el Lagrangiano $\mathcal{L_M}$ para un gas. Generalmente en el modelo ideal del gas sólo se consideran las energías cinéticas pero pensemos en la energía potencial de una colisión y no asumamos que la colisión es un evento en el espaciotiempo sino que tiene una duración finita. El punto de inflexión puede pensarse como un consecuencia de la regularización .

En potencial experimentado por $2$ objetos cuando colisionan viene dada por: $$ V_{exp} = \frac{1}{2} \mu v_{rel}^2 $$

donde $V_{exp}$ es el potencial experimentado, $\mu$ es la masa reducida y $v_{rel}$ es la velocidad relativa. La nueva densidad de acción cuando se incluyen las colisiones viene dada por:

$$S(p) \to S(p) + S_c$$

donde $p$ es el impulso, $S(p)$ es la acción cuando sólo se consideran las energías cinéticas y $S_c$ es la acción aportada por la energía potencial. Ahora, si asumo una interacción de corto alcance:

$$ S_c = \int L_c dt \approx V_{exp} \tau $$ donde $\tau$ es la duración de la colisión. Ahora bien, para un gas, la número de colisiones por $4$ volumen viene dado por:

$$ d N_c = \frac{1}{2}\rho^2 A |\langle v_{rel} \rangle | dt dx dy dz$$ donde el $\rho$ es la densidad, $A$ es el área de la molécula y $dt$ , $dx$ , $dy$ , $dz$ son infinitesimales. Por lo tanto, la densidad de acción $\tilde S_c$ para todo el gas viene dada por:

$$ \tilde S_c \approx \frac{1}{4} \rho^2 A |\langle v_{rel} \rangle | \mu\langle v_{rel}^2 \rangle \langle \tau \rangle $$

Ahora bien $\langle \tau \rangle$ debe depender del potencial de corto alcance no veo ninguna razón por la que no podría tener el término (después de usar la ecuación de estado):

$$ \langle \tau \rangle = \frac{C}{\rho^2 |\langle v_{rel} \rangle | \langle v^{2}_{rel} \rangle } + \dots $$

donde $C$ ¿es una constante?

Answer 1

Existen tres invariantes adiabáticas del movimiento de una sola partícula bajo la influencia de un campo magnético cuasiestático. Estos se discuten en detalle en: https://physics.stackexchange.com/a/670591/59023

Pueden resumirse del siguiente modo: $$ \begin{align} \left( \pi \rho_{cs}^{2} B \right) & \equiv \text{magnetic flux conservation} \tag{0a} \\ \frac{ p_{\perp}^{2} }{ B } & \equiv \text{transverse momentum} \tag{0b} \\ \gamma \mu & \equiv \text{magnetic moment} \tag{0c} \\ \int_{a}^{b} \ ds \ p_{\parallel} & \equiv \text{parallel momentum} \tag{0d} \end{align} $$ donde $e$ es la carga fundamental [C], $\gamma$ es el Factor de Lorentz [N/A], $B$ es la magnitud del campo magnético [T], $m_{s}$ es la masa de las especies $s$ [kg], $v_{\perp}$ es la velocidad ortogonal al vector campo magnético [km/s], $p_{j}$ es el momento canónico, y $\mu = \tfrac{ e \ \Omega_{cs} \ \rho_{cs}^{2} }{ 2 \ c }$ es el momento magnético de la partícula. Obsérvese que el gyroradius , $\rho_{cs}$ y frecuencia del ciclotrón , $\Omega_{cs}$ de especies $s$ dada por: $$ \begin{align} \rho_{cs} & = \frac{ \gamma \ m_{s} \ v_{\perp} }{ e \ B } \tag{1a} \\ \Omega_{cs} & = \frac{ e \ B }{ \gamma \ m_{s} } \tag{1b} \end{align} $$

¿Una constante en la acción tiene siempre consecuencias inobservables en mecánica clásica?

No, estas invariantes adiabáticas del movimiento corresponden a firmas claramente observables en los datos de partículas medidos por naves espaciales que orbitan la Tierra. Es cierto que su violación facilita el discernimiento, pero cuando se mantienen, las observaciones también son reveladoras, porque las funciones de distribución de la velocidad de las partículas (VDF) son efectivamente aburridas.

Por ejemplo, las expresiones ( $0$ b) y ( $0$ c) anterior puede corresponder a partículas que experimentan algo llamado ''fuerza espejo''. El nombre deriva, creo, de uno de los artículos originales de Enrico Fermi de los años 40 o 50 sobre partículas que se reflejan en ''nubes magnéticas'' que se fusionan en el espacio (que dio lugar a lo que ahora llamamos Aceleración de Fermi o aceleración de choque difusiva Por ejemplo, véase https://physics.stackexchange.com/a/252885/59023 ). La idea es que si 0b y 0c se mantienen y si el campo magnético varía lo suficientemente despacio (es decir, más despacio que el giroperiodo de la partícula), entonces la energía cinética total debería conservarse. Entonces se puede demostrar que, a medida que una partícula se desplaza hacia una región de mayor campo magnético, se moverá en el espacio de velocidad hacia ángulos de paso mayores, es decir, el ángulo entre el vector velocidad/momento de la partícula y el campo magnético cuasiestático.

Si partimos de una VDF de partículas isótropa (en el espacio de velocidad) (por ejemplo, véase ¿Cuál es la función de distribución relativista correcta? para ver ejemplos de un VDF de partículas), $f\left( \mathbf{x}, \mathbf{v}, t \right)$ como esa VDF se transporta a regiones de mayor campo magnético, en realidad debería seguir siendo isótropa si es una función continua y no hay pérdidas. Si es discreta y/o hay pérdidas, entonces se verá algo llamado ''cono de pérdida'' -- VDF de partículas donde un lado tiene una depresión en forma de v en la densidad del espacio de fase debido a una pérdida de partículas en la dirección de la velocidad paralela o antiparalela al campo magnético. En la Tierra magnetosfera observamos VDF de cono de pérdida mucho cerca de la regiones aurorales en latitudes altas y altitudes bajas. Esto se debe a que las partículas se pierden por precipitación en la atmósfera terrestre, es decir, se dispersan de las partículas cargadas o neutras y no se reflejan por la fuerza del espejo.

Respuesta
Por tanto, cuando se satisfacen todas estas invariantes, vemos VDF de partículas efectivamente isotrópicas con poca variación en función del tiempo o VDF anisotrópicas causadas por el transporte a regiones de mayor campo magnético (es decir, las VDF reales son discretas). Así, la firma observacional es que vemos lo que se espera de estas predicciones simples cuando la acción se conserva. Obviamente, es mucho más interesante cuando observamos FDV que no satisfacen estas restricciones, pero eso no significa que las regiones de acción constante no tengan observables.

Referencias

• J.D. Jackson, Electrodinámica clásica Tercera edición, John Wiley & Sons, Nueva York, 1999.