Por qué la ecuación de onda es de segundo orden

Question

Es muy intuitivo que cualquier función de la forma $y=f(x+vt)$ describiría una onda en dos dimensiones espaciales y en el tiempo.

A partir de ahí es fácil utilizar la regla de la cadena, dejando que $w=x+vt$ y haciendo:

$$ \frac{{\partial} y}{{\partial} x}=\frac{dy}{dw}\frac{{\partial}w}{{\partial}x}=\frac{dy}{dw} $$

$$ \frac{{\partial} y}{{\partial} t}=\frac{dy}{dw}\frac{{\partial}w}{{\partial}t}=v \frac{dy}{dw} $$

Y entonces:

$$ \frac{{\partial} y}{{\partial} x}-\frac{1}{v} \frac{{\partial} y}{{\partial} t}=0 $$

Pero, en cambio, la regla de la cadena se puede utilizar dos veces para obtener la forma de la ecuación de onda que se suele ver en física:

$$ \frac{{\partial}^2 y}{{\partial}^2 x}-\frac{1}{v^2} \frac{{\partial}^2 y}{{\partial}^2 t}=0 $$

Entiendo la derivación de la forma de segundo orden a partir de la tensión en una cuerda vibrante (como en http://oyc.yale.edu/physics/phys-201/lecture-14 ), pero lo que no entiendo es qué significado diferente tiene la ecuación de segundo orden, si es que tiene alguno, con respecto a la ecuación de primer orden.

¿Hay casos en los que la ecuación de primer orden se cumpliría pero la de segundo orden no, o viceversa?

Answer 1

La ecuación de primer orden $$\frac{{\partial} y}{{\partial} x}-\frac{1}{v} \frac{{\partial} y}{{\partial} t}=0$$ es también una importante EDP, conocida como la ecuación de transporte . Todas sus soluciones consisten en que los valores iniciales se desplazan hacia la izquierda con velocidad $v$ (con el $+$ se desplazarían hacia la derecha). Esto no es lo que esperamos que haga una cuerda vibrante: si se tira de ella en una dirección (digamos, hacia arriba), vibra, moviéndose tanto hacia arriba como hacia abajo. Además, una onda creada a partir de una salpicadura no conserva exactamente la forma de esa salpicadura, y se propaga en todas las direcciones espaciales de que dispone (lo que en $\mathbb{R}^1$ es izquierda y derecha).

Aquí hay una conexión más directa entre la orden y el objeto modelado.

• Si una EDP implica sólo la primero derivada con respecto a $t$ entonces su solución viene determinada por el valor inicial $u(x,0)$ . De hecho, la EDP y el valor inicial dictan lo que $u_t(x,0)$ debe ser, y la solución evoluciona a partir de ahí.
• Si una EDP implica la segundo derivada con respecto a $t$ entonces su solución es no determinado por el valor inicial $u(x,0)$ también es necesario especificar la velocidad inicial $u_t(x,0)$ . De hecho, la EDP, el valor inicial y la velocidad inicial determinan conjuntamente lo que $u_{tt}(x,0)$ debe ser, y la solución evoluciona a partir de ahí.

La vibración es un proceso en el que importan tanto la posición como la velocidad: si una cuerda está inicialmente en reposo pero tiene una velocidad distinta de cero, no permanecerá en reposo. Por lo tanto, este proceso no puede describirse mediante una ecuación de primer orden con respecto a $t$ .