¿Cómo puedo demostrar que un límite de una función existe si y sólo si ambos lados del límite existen y son iguales?

Question

Entiendo el concepto que hay detrás y me parece bastante obvio el porqué, pero tengo problemas para demostrarlo con rigor. Para hacer las cosas más "simples", imaginemos que existe la función $f: [-2,2] \rightarrow \mathbb{R}$ y debo probar que $\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}=L$ es verdadera si y sólo si $\lim_{x\rightarrow0^+}{f(x)}=L$ y $\lim_{x\rightarrow0^-}{f(x)}=L$ . He aquí mi intento:

Utilizando la definición, sea el conjunto $[-2,2] \subseteq \mathbb{R}$ y $0$ sea un punto de conglomerado de $[-2,2] \cap (0,\infty)$ . Entonces $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}$ . Así, $\lim_{x\rightarrow0^+}{f(x)}=L$ si para todo $\epsilon > 0$ hay $\delta > 0$ tal que para todo $x \in [-2,2], 0 < x < 0 + \delta$ tenemos $|f(x)-L| < \epsilon$ . Además, $\lim_{x\rightarrow0^-}{f(x)}=L$ si para todo $\epsilon > 0$ hay $\delta > 0$ tal que para todo $x \in [-2,2], 0 - \delta < x < 0$ tenemos $|f(x)-L| < \epsilon$ . Entonces, puesto que $-\delta < x < \delta$ y $|f(x)-L| < \epsilon$ obtenemos que $\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}=L$ .

Pero no estoy seguro de cómo iniciar la inversa de esto para terminar la prueba.

Answer 1

Supongamos que $\lim_{x\to 0} f(x)$ existe y es igual a $L$ .

Entonces, para todos $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que

$0 < |x| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon.$

Tenga en cuenta que $0 < x < \delta \implies 0 < |x| < \delta.$

Del mismo modo, $-\delta < x < 0 \implies 0 < |x| < \delta.$

Por lo tanto, para el $\epsilon, \delta$ combinación, tienes esa

$$0 < x < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon \tag1$$

y

$$-\delta < x < 0 \implies |f(x) - L| < \epsilon. \tag2 $$

Por lo tanto, para cualquier $\epsilon$ existe un $\delta$ de forma que se cumplan las implicaciones de (1) y (2).

Esto es consecuencia directa de la presunción de que

$$\lim_{x\to 0} f(x) = L. \tag3 $$

Por lo tanto, (3) implica que

• $\lim_{x\to 0^+} f(x) = L. $

• $\lim_{x\to 0^-} f(x) = L. $

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Anexo

Creo que tu prueba de la otra dirección del problema está bien. Sin embargo, por si te sirve de algo, yo habría optado por un enfoque muy similar al que adopté en la primera parte de mi respuesta.

Supongamos que

• $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ existe y es igual a $L$ .
• $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ existe y es igual a $L$ .

Entonces, para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta_1, \delta_2$ tal que:

• $0 < x < \delta_1 \implies |f(x) - L| < \epsilon.$

• $-\delta_2 < x < 0 \implies |f(x) - L| < \epsilon.$

Toma $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ .

Entonces $0 < |x| < \delta$ implica que una de las siguientes cosas debe ser cierta:

O bien $0 < x < \delta$ o $-\delta < x < 0$ .

Por lo tanto, en cualquier caso, usted tendrá la implicación de que $|f(x) - L| < \epsilon.$

Por lo tanto, en virtud del doble supuesto de que

• $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ existe y es igual a $L$ y
• $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ existe y es igual a $L$

tienes que para cualquier $\epsilon$ existe un $\delta_1, \delta_2$ de modo que $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ puede fijarse.

Esto significa que para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ de forma que se cumpla la implicación deseada.

Por lo tanto, la presunción de que

• $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ existe y es igual a $L$ y
• $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ existe y es igual a $L$

implica que

• $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe y es igual a $L$ .