Encontrar espacios vectoriales

Question

Otro problema que estoy tratando de conseguir. Esto es lo que dice.

Sea $W$ sea el conjunto de todos los vectores de la forma mostrada, donde $a$ , $b$ y $c$ representan números reales arbitrarios. En cada caso, encuentre un conjunto $S$ de vectores que abarca $W$ o dar un ejemplo para demostrar que $W$ no es un espacio vectorial.

(a) $$\begin{bmatrix}a+1\\ a6b\\ 2b+a\\ \end{bmatrix}$$
(b) $$\begin{bmatrix}4a+3b\\ 0\\ a+b+c\\ c2a\\ \end{bmatrix}$$

Intenté resolver (a) (y decir que W no está en el espacio vectorial debido a la regla del vector cero) haciendo lo siguiente

$-a+1 = 0$
$-a=-1$
$a=1$

Luego usé a=1 para sustituir en la siguiente parte.

$a-6b=0$
$1-6b-0$
$-6b=-1$
$b=1/6$

Luego he sustituido a=1 y b=1/6 en la siguiente parte.

$2b+a=0$
$2(1/6)+1=0$
$(1/3)+(3/3)=0$
$(4/3) \ne 0$

Obviamente, no puedo utilizar este método para (b) tan fácilmente. ¿Hay otra forma de hacerlo? ¿Estoy en el buen camino con (a)?

Answer 1

(a) parece correcto, pista para (b) : $\quad\quad \begin{bmatrix}4a+3b\\ 0\\ a+b+c\\ c−2a\\ \end{bmatrix} = a \cdot \begin{bmatrix}4\\ 0\\ 1\\ −2\\ \end{bmatrix} + b \cdot \begin{bmatrix}3\\ 0\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} + c \cdot \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix} $