Integral de función trigonométrica con parámetro

Question

Necesito resolver la integral $$\int \frac{dx}{1+a\cos x}$$ para $a\>>0$

He intentado utilizar la sustitución $t=\tan\frac{x}{2}$ pero por desgracia no parece funcionar aquí. después de substitude todas las identidades trigo me dieron:

$\int \frac{dx}{1+acosx} = \int \frac{2dt}{1+t^2+a(1-t^2)}$

a partir de aquí no sé cómo proceder

Me gustaría una explicación sobre este problema porque creo que tiene una gran lección que puedo sacar de él.

Answer 1

Empezando por donde te fuiste,

$$\int \frac{2dt}{1+t^2+a(1-t^2)}$$ $$=2\int \frac{dt}{\left(\sqrt{(1-a)}t\right)^2+ (\sqrt{a+1})^2}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{1-a}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a+1}} \tan^{-1} \left(\frac{t\sqrt{1-a}}{\sqrt{a+1}}\right)+C$$

Answer 2

$$I=\int \frac{dx}{1+acosx} = \int \frac{2dt}{1+t^2+a(1-t^2)}$$ $$I = \int \frac{2dt}{t^2(1-a)+a+1}$$ Para $ a\ne 1$ tenemos ( de lo contrario $I=\int dt$ ): $$I = \dfrac 2 {1-a}\int \frac{dt}{t^2+c}$$ Dónde $c=\dfrac {1+a}{1-a}$ Ahora depende de si $c > 0$ ou $c<0$ . Si $c>0$ utiliza la función arctan. Para $c=0$ es fácil de integrar. $c<0$ puedes descomponer la fracción y utilizar la función logarítmica. Para $a=1$ la integral es sencilla: $I=\int dt$ .