La coherencia en los fundamentos de geometría de Hilbert

Question

Después de leer la entrada de la Stanford Encyclopedia of Philosophy sobre la correspondencia entre Hilbert y Frege en relación con el primer Fundamentos de geometría Estoy bastante desconcertado por una afirmación que hace el autor del artículo en la página 7. Allí escribe que el siguiente par de frases es "demostrablemente consistente en el sentido de Hilbert":

• El punto B se encuentra en una línea entre los puntos A y C
• El punto B no se encuentra en una línea entre los puntos C y A

Todavía no he tenido la oportunidad de leer el trabajo original de Hilbert sobre este tema, pero me parece inverosímil que estas dos afirmaciones no impliquen una contradicción en su sistema formal. Agradecería mucho que alguien me aclarase si, en efecto, estoy equivocado al respecto.

Answer 1

Uno de los puntos clave del llamado Polémica Frege-Hilbert fue el uso que hizo Hilbert del método de las "interpretaciones alternativas" para demostrar resultados de consistencia e independencia.

Para Frege, una teoría matemática tiene un significado: la interpretación pretendida, mientras que para Hilbert un "sistema formal" debe desarrollarse sin tener en cuenta la interpretación pretendida.

"La idea central de la interpretación alternativa es que para Frege, la cuestión de si un pensamiento dado está lógicamente implicado por una colección de pensamientos es sensible no sólo a la estructura formal de las oraciones utilizadas para expresar esos pensamientos, sino también al contenido de los términos simples (por ejemplo, geométricos) que aparecen en esas oraciones."

En pocas palabras: si "entre" no se lee como entre y se trata como una relación binaria cualquiera, sin más axiomas no tenemos derecho a afirmar que la relación es simétrico .

En términos formales, $R(A,C,B)$ y $¬R(A,C,B)$ son contradictorios, mientras que $R(A,C,B)$ y $¬R(C,A,B)$ no lo son.