¿Cómo hallar la función de distribución inversa de una variable aleatoria mixta?

Question

Sea $X,Y, Z$ sean tres variables aleatorias tales que $$F_Z(x) = wF_X(x) + (1-w)F_Y(x)$$ Entonces, ¿es cierto que $$F_{Z}^{-1}(x) = wF_{X}^{-1}(x) + (1-w)F_{Y}^{-1}(x)?$$

O, ¿cómo arreglamos el $F_{Z}^{-1}$ ?

Gracias a todos por vuestra colaboración.

Answer 1

Usted tiene $F_Z(z) = w\,F_X(z)+(1-w)\,F_Y(z)$

En $F_Z^{-1}(u) = w\,\,F_X^{-1}(z)+(1-w)\,F_Y^{-1}(z)$

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Examinemos el caso en el que $X\sim\mathcal U(0;1)$ y $Y\sim\mathcal U(1;2)$

Entonces $F_Z(z) = wz\,\mathbf 1_{z\in[0;1)}+((1-w)z+2w-1)\,\mathbf 1_{z\in[1;2)}+\,\mathbf 1_{z\in[2;\infty)}$

Así que $F_Z^{-1}(u) = \begin{cases}u/w &: 0< u< w \\ 1+ (u - w)/(1-w) & : w\le u< 1 \\ \mathsf{undef} & :\textsf{elsewhere} \end{cases}$

Pero $F_X^{-1}(u) = \begin{cases}u&:0<u<1 \\\textsf{undefined}&:\textsf{elsewhere}\end{cases}\\ F_Y^{-1}(u) = \begin{cases}1+u&:0<u<1 \\\textsf{undefined}&:\textsf{elsewhere}\end{cases}$

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tl;dr No, en general no es así. Existe al menos un contraejemplo.