Integración de la función indicadora para obtener el pseudovalor

Question

Estoy leyendo un artículo sobre el uso de pseudovalores en el análisis de supervivencia y estoy intentando deducir el pseudovalor para la función de vida media restringida. Tenemos,

$$ \hat{\mu}_{\tau_i} = \int_{0}^{\tau} \hat{S}_{i}(t) ~ dt $$

donde $\hat{S}_i(t)$ es el i-ésimo pseudovalor de la función de supervivencia. Sin censura,

$$ \hat{S}_{i}(t) = \mathbb{I}(X_i > t)$$

donde $X_i$ es el $i^{th}$ hora del evento. Así que..,

$$ \hat{\mu}_{\tau_i} = \int_{0}^{\tau} I(X_i > t) ~dt $$

Al evaluar esto, aparentemente $\hat{\mu}_{\tau_i}$ debe ser igual a $X_i$ cuando $X_i \leq \tau$ y $ \tau$ cuando $X_i > \tau$ . Creo que me estoy perdiendo algo con respecto a la integración de la función de indicador porque estoy recibiendo $\hat{\mu}_{\tau_i} = \tau - t$ .

Para las funciones indicadoras, pensé

$$ \int_{-\infty}^{\infty} I(X > a) dx = \int_{a}^{\infty} dx$$

Así que cambié mi integral de tal manera,

$$ \hat{\mu}_{\tau_i} = \int_{t}^{\tau} 1 ~dt = \tau - t$$

Estoy pensando que esto está mal porque el diferencial está en los límites de la integral pero no estoy seguro de cómo hacerlo correctamente. ¿Alguien puede ayudar a señalar la forma correcta de manejar esto?

Answer 1

La notación $\hat{\mu}_{\tau_i}$ es una mala notación, ya que no hay ninguna variable $\tau_i$ . Utilizando la notación alternativa $\hat{\mu}_i(\tau)$ para lo mismo (que es mejor notación), deberías tener:

$$\begin{aligned} \hat{\mu}_i(\tau) &= \int \limits_0^\tau \mathbb{I}(X_i > t) \ dt \\[6pt] &= \int \limits_0^\tau \mathbb{I}(t < X_i) \ dt \\[6pt] &= \int \limits_0^{\min(X_i,\tau)} \mathbb{I}(t < X_i) \ dt + \int \limits_{\min(X_i,\tau)}^\tau \mathbb{I}(t < X_i) \ dt \\[6pt] &= \int \limits_0^{\min(X_i,\tau)} 1 \ dt + \int \limits_{\min(X_i,\tau)}^\tau 0 \ dt \\[6pt] &= \int \limits_0^{\min(X_i,\tau)} 1 \ dt \\[6pt] &= {\min(X_i,\tau)}. \\[6pt] \end{aligned}$$

Obsérvese que cuando se realiza una integral definida sobre la variable de integración $t$ (y siempre que los límites de la integral no impliquen $t$ ) debe obtener una respuesta que no tenga un $t$ en él. Es decir, se "integra" el $t$ . El hecho de que usted está recibiendo una respuesta que implica $t$ significa que no lo ha integrado correctamente.

Answer 2

Vale, ya lo he resuelto.

Mi función indicadora es

$$ I(X_i > t) = \begin{cases} 1 ~,~ t < X_i < \infty \\ 0 ~,~ otherwise\end{cases} $$

Puedo reescribir esto como una función de t en lugar de $X_i$ ,

$$ I(t \leq X_i) = \begin{cases} 1 ~,~ 0 \leq t \leq X_i \\ 0 ~,~ otherwise\end{cases} $$

Así es,

$$ \hat{\mu}_{\tau_i} = \int_{0}^{\tau} I(t \leq X_i) ~dt = \int_{0}^{X_i} 1 ~dt $$

En $X_i \leq \tau$ ,

$$ \int_{0}^{\tau} I(t \leq X_i) ~dt = \int_{0}^{X_i} 1 ~dt + \int_{X_i}^{\tau} 0 ~ dt = X_i $$

En $X_i > \tau$ sólo estamos integrando a $\tau$ por lo que tenemos

$$ \int_{0}^{\tau} I(t \leq X_i) ~dt = \int_{0}^{\tau} 1 ~dt = \tau$$