Pues bien, sin utilizar las reglas del logaritmo, ¿cómo calcular este límite? $$\lim _{n\to \infty }\left(\frac{n^2+8n\:-1}{n^2-4n-5}\right)^n$$
No encuentro ninguna presentación más "bonita" de esta fracción, y no puedo utilizar $\ln $ reglas..
Pues bien, sin utilizar las reglas del logaritmo, ¿cómo calcular este límite? $$\lim _{n\to \infty }\left(\frac{n^2+8n\:-1}{n^2-4n-5}\right)^n$$
No encuentro ninguna presentación más "bonita" de esta fracción, y no puedo utilizar $\ln $ reglas..
$$\frac{n^2+8n-1}{n^2-4n-5}=1+\frac{n^2+8n-1}{n^2-4n-5}-1=1+\frac{12n+4}{n^2-4n-5}$$
$$\left(\frac{n^2+8n-1}{n^2-4n-5}\right)^n=\left[\left(1+\frac{12n+4}{n^2-4n-5}\right)^\dfrac{n^2-4n-5}{12n+4}\right]^{\dfrac{n(12n+4)}{n^2-4n-5}}$$
Para $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{12n+4}{n^2-4n-5}\right)^\dfrac{n^2-4n-5}{12n+4}=e$
Para el exponente, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n(12n+4)}{n^2-4n-5}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{12+4/n}{1-4/n-5/n^2}=12$
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