acertijo que consiste en geometría elemental

Question

$3$ ranas están situados en los vértices de un triángulo equilátero cuyos lados son de longitud $1$. Tenemos $1$ rana en cada vértice.

Las ranas son capaces de "salto" de uno sobre otro. Cuando lo hacen, van a la tierra en el simétrico del punto a donde se saltó como se muestra en este dibujo.

pueden saltar en cualquier orden que desee y también cualquier número de veces que se desee.

Es posible organizar las ranas que están en los vértices de un equialteral triángulo cuyos lados son iguales a $2$?

Answer 1

No, no es posible causa después de cada salto que el área del triángulo que se extendió por las tres ranas sigue siendo el mismo. Ahora el área de un triángulo equilátero con lados de $1$ obviamente no es igual al área de un triángulo con lados de $2$. Así que esto no será posible.

Edit: La razón por la zona que no cambia es si usted tiene el triángulo ABC, entonces el área es igual a $b*h/2$ donde $h$ es la altura o la distancia a $C$ a la línea a través de $A$ y $B$, $b$ es la base. En este caso la base es $AB$ ahora cuando nos movemos $B$ a el otro lado de la $A$ $|AB|=|BA|$ y la altura también permanece la misma. Por lo que la zona no cambia.

Answer 2

Parece que es imposiible porque en el siguiente colorear de un triángulo (con la cara 1) cuadrícula vemos que la cuadrícula de los vértices de cada triángulo con el lado de la $1$ son de 3 colores, la cuadrícula de los vértices de cada triángulo con el lado de la $2$ 1 color, y un salto de no cambiar el color de el salto de la rana lugar.

Answer 3

No, No puedo. El proceso es claramente reversibles (en cada paso la rana puede saltar de nuevo sobre la rana sólo saltó por encima), así que si era posible, sería posible ir de un triángulo con lados de longitud de 2 a uno de longitud 1. Considere la siguiente red de triángulos equiláteros con lados de longitud 2 y las ranas ser los puntos verdes (lo siento por mi crudo MSPaint trabajo...):

Claramente las ranas siempre permanecer en los vértices, de modo que los más pequeños (y único) posible equilátero triángulo tiene lados de longitud 2.