Series de potencias complejas que convergen absolutamente en la frontera convergen absolutamente en una vecindad de la frontera

Question

Si una serie de potencias complejas $\sum_{n = 0}^{\infty} a_n z^n$ converge absolutamente para $|z| \leq 1$ ¿converge necesariamente de forma absoluta para $|z| < 1 + \epsilon$ para algunos $\epsilon > 0$ ?

Answer 1

Es falso. Por ejemplo, $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n^2}$ tiene rayo de convergencia $1$ pero converge absolutamente $\forall|z|\leq1$ .