prueba de que $\hat{f}(x,y)=f(x-y)$ es medible si $f(x-y)$ es medible, Stein & Shakarchi Prop 3.9

Question

Estoy siguiendo el libro de Stein y Shakarchi sobre el análisis ( Análisis Real: Teoría de medidas, integración y espacios de Hilbert ) y en la Proposición 3.9 de la p.86 presentan una prueba de que si $f$ es una función medible en $\mathbb{R}^d$ entonces $\hat{f}(x,y)=f(x-y)$ es medible en $\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d$ .

Lo extraño es que puedo seguir todos los argumentos de la prueba, pero no le encuentro sentido a todo, no consigo encadenar los hechos.

Un fragmento de la prueba es el siguiente: (de Google books)

El libro concluye la demostración diciendo que cualquier conjunto medible $E$ puede escribirse como diferencia de a $G_\delta$ y un conjunto de medida 0.

Muy bien así que si procedo con esto entonces porque $E=\{z \in \mathbb{R}^d:f(z)<a \}$ como se define en el libro es medible, entonces se puede escribir como $A-B$ donde $A$ es un $G_\delta$ establecer mientras $m(B)=0.$ Ahora, ¿cómo relaciono esto con $\tilde{E}$ como se define en la prueba?

¡ayuda muy apreciada!

Answer 1

Introduzcamos un poco más de notación y definamos

$$\mu \colon \mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d;\quad \mu(x,y) = x-y.$$

Entonces la notación en la prueba es que $\tilde{M} = \mu^{-1}(M)$ para todos (quizás sólo todos los medibles) $M \subset \mathbb{R}^d$ .

Para demostrar que $\hat{f} = f\circ \mu$ es medible, se demuestra que $\hat{f}^{-1}\bigl((-\infty,a)\bigr)$ es medible para todo $a$ . Desde $f$ se supone mensurable, $E_a = f^{-1}\bigl((-\infty,a)\bigr) \subset \mathbb{R}^d$ se sabe que es medible para todos los $a$ .

La prueba procede ahora a mostrar que para todo (Lebesgue) medible $E\subset \mathbb{R}^d$ la imagen previa $\mu^{-1}(E) \subset \mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d$ también es medible (Lebesgue). (Obsérvese que sería trivial para los conjuntos medibles de Borel, ya que $\mu$ es continua).

La primera parte de la demostración trata un subconjunto de los conjuntos de Borel, conjuntos abiertos y $G_\delta$ conjuntos. La preimagen de un conjunto abierto resp. $G_\delta$ es abierto resp. a $G_\delta$ puesto que $\mu$ es continua.

El resto de la demostración trata el caso no trivial, que la preimagen de un conjunto nulo también es medible. Con esto termina la demostración porque cualquier conjunto medible es la diferencia de un $G_\delta$ y un conjunto nulo, por lo que su preimagen

$$\mu^{-1}(G_\delta \setminus N) = \mu^{-1}(G_\delta)\setminus \mu^{-1}(N)$$

es la diferencia de a $G_\delta$ conjunto y un conjunto medible, por lo tanto medible.

Para demostrar que la preimagen de un conjunto nulo $E\subset\mathbb{R}^d$ es medible, la preimagen se aproxima restringiendo la $y$ componente,

$$\tilde{E}_k = \mu^{-1}(E)\cap \{(x,y) : \lVert y\rVert < k\}.$$

Además $E$ se aproxima mediante conjuntos abiertos $O_n$ cuya medida tiende a $0$ . Dado que la medida de $\mu^{-1}(O) \cap \{(x,y) : \lVert y\rVert < k\}$ está limitada por la medida de $O$ veces la medida de la bola de radio $k$ se deduce que $\tilde{E}_k \subset \bigcap (\mu^{-1}(O_n)\cap \{(x,y) : \lVert y\rVert < k\})$ es de hecho un conjunto nulo, por lo tanto medible. Ahora $\mu^{-1}(E) = \tilde{E} = \bigcup \tilde{E}_k$ se ve que es la unión contable de conjuntos nulos, por lo tanto un conjunto nulo.