Grupos finitos no abelianos con subgrupos abelianos maximales

Question

Por favor, mejore el título si no es adecuado.

¿Existe un grupo finito $G$ con las siguientes propiedades?

$G$ tiene un subgrupo mínimo, digamos $L$ isomorfo de $\mathbb{Z}_{p}$ y un subgrupo maximal digamos $M$ isomorfo de $\mathbb{Z}_{pq}$ que contengan adecuadamente $L$ ( $p$ y $q$ son algunos primos distintos), tales que $L\ntrianglelefteq G$ , $M\ntrianglelefteq G$ y $M$ es el único subgrupo propio de $G$ que contengan adecuadamente $L$ .

Answer 1

¿Qué te parece $G = {\rm SL}(2,3) = Q_8.C_3$ con $|L|=3$ y $|M|=6$ ?

Existen ejemplos similares de la forma $N.C_p$ con $N$ un extraespecial $q$ -exponente del grupo $q$ donde el $C_p$ actúa irreduciblemente sobre $N/Z(N)$ .