Sea $\varphi:G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ sea una representación fiel de grupo de Lie, es decir, un homomorfismo inyectivo de grupo de Lie. Entonces es $\varphi(G)$ un subgrupo de Lie de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ ? De alguna manera creo que esto no debería ser tan difícil de ver, pero no acabo de entenderlo. Yo se que $\varphi(G)$ es una submanifold inmersa porque $\varphi$ es inyectiva y de rango constante, pero ¿cómo demostrar que la multiplicación $m:\varphi(G)\times\varphi(G)\to\varphi(G)$ ¿es suave?
Respuesta
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Quizá esté usted confundido con las definiciones, concretamente con la definición de Subgrupo de Lie (que no has especificado en tu pregunta; lo haré a continuación siguiendo la convención más habitual).
En inmersión es un $C^\infty$ mapa $\phi:N \to M$ entre múltiples tal que la diferencial $d \phi_n$ es inyectiva en cada $n \in N$ . A submanifold de un múltiple $M$ es un par $(N,\phi)$ consistente en un colector $N$ y una inmersión uno a uno $\phi:N \to M$ . Si $G$ es un grupo de Lie, a Subgrupo de Lie de $G$ es un par formado por un grupo de Lie $H$ y un homomorfismo de grupo $\phi: H \to G$ tal que el par $(H,\phi)$ es un submanifold de la manifold $G$ .
Con estas definiciones está claro que comprobar que una representación fiel $\phi:G \to \mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ es un subgrupo de Lie equivale a comprobar que es una inmersión (que lo es, como has escrito más arriba--aunque yo lo vería más bien observando que basta con demostrar que es una inmersión en la identidad $1 \in G$ que se deduce del hecho de que todos los vectores del núcleo exponencian a los elementos del núcleo).
