Cardinalidad de un grupo de Galois

Question

Sea $t_1,t_2,t_3,t_4 \in \mathbb{C}$ sean las raíces de $T^4 - 2 \in \mathbb{Q}[T]$ y que $E$ sea el campo $\mathbb{Q}(t_1,t_2,t_3,t_4)$ . Consideremos ahora el grupo $G = \text{Gal}(E / \mathbb{Q})$ el grupo de Galois de $E$ en $\mathbb{Q}$ . Intento demostrar que la cardinalidad de $G$ es 8. Me está costando empezar con esto.

Mi primer pensamiento es tratar de encontrar un elemento $g \in G$ de orden 4 y encontrar también un elemento $h \in G$ de orden 2 que no está en $\langle g \rangle$ .

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

$G$ tiene subgrupos $K = \text{Gal}(E / \mathbb{Q}(i))$ y $H = \text{Gal}(E / \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})).$ Definimos $g \in K$ por $g(\sqrt[4]{2}) = i\sqrt[4]{2}$ y definir $h \in H$ por $h(i) = -i$ (la restricción de la conjugación compleja). Entonces $g$ tiene orden 4 y $h$ tiene orden $2$ . Desde $K \cap H = 1$ se deduce que $|G| \geq 8$ . Desde $[E : \mathbb{Q}] = 8$ debemos tener eso $|G| = 8$ generado por $g$ y $h$ .

Además, para que nos entendamos, tenemos que $$hgh^{-1}(\sqrt[4]{2}) = -i\sqrt[4]{2} = g^{-1}(\sqrt[4]{2})$$ y $$hgh^{-1}(i) = i = g^{-1}(i)$$ Por lo tanto $hgh^{-1} = g^{-1}$ . Esto nos dice que $G \cong D_4$ . Como sabemos $|D_4| = 8.$