Me gustaría saber si $2 \times 2$ matriz $A$ satisface $A^4=I$, también satisface $A^2=I$ o $A^2=-I$ si todos los elementos de a $A$ son reales. También, realmente agradecería su ayuda en más de generalizaciones. yo.e) Propiedades de $A$ tal que $A^n=I$.
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Deje $A^4=I$, y deje $B=A^2$. A continuación, $B^2=I$. Podemos utilizar determinantes para aprender un poco más acerca de B: $$\det(B^2)=\det(B)^2=\det(I)=1,$$ so $\det(B)=\pm 1$. Furthermore, since $\det(B)=\det(A^2)=\det(A)^2$, $\det(B)$ is the square of a real number and cannot be negative, so $\det(B)=1$. Thus, $B$ is invertible, so $B=B^{-1}$. It is known that every self-inverse matrix is diagonalizable, so there exists $P$ such that $B=PDP^{-1}$ for some diagonal matrix $D$. This means that $$B^2=PDP^{-1}PDP^{-1}=PD^2P^{-1}=I$$ and $$PD^2=P$$ so $$D^2=I.$$ Thus, if $$D=\left(\begin{array}{cc} d_1 & 0\\ 0 & d_2\end{array}\right),$$ then $d_1^2=d_2^2=1$. Now consider $\det(PDP^{-1})=\det(D)=\det(B)=1$, so $d_1$ and $d_2$ must have the same sign, so $D=\pm me$. This leaves us with $$A^2=B=PDP^{-1}=\pm PIP^{-1}=\pm I.$$
En general, si $A^n=I$, debemos tener la $\det(A)^n=1$. Si, como usted dice, las entradas de $A$ son reales, por lo que es el determinante de a $A$, lo $\det(A)=\pm 1$. Si $n$ es impar, tenga en cuenta que $\det(A)=1$. Si $n$ es incluso, conseguimos que los $A^{n/2}=\pm I$ por la misma prueba dada anteriormente.
Chris Ballance
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Para tu primera pregunta, como usted no ha aprendido mínima polinomio, aquí es un poco más extensa respuesta. Desde $A^4=I$, el determinante de a $A$ --- ser un número real --- debe ser $-1$ o $1$. Por lo tanto, si la ponemos a $B=A^2$,$B^2=I$$\det(B)=\det(A)^2=1$. Ahora, uno puede comprobar fácilmente que $$ B^2=\operatorname{trace}(B)B-\det(B)I\etiqueta{1} $$ comparando directamente ambos lados de $(1)$ entrywise. (Esto es realmente un caso especial de Cayley-Hamilton teorema, pero supongo que no han aprendido aún). Así, con nuestra $B$, obtenemos $I=\operatorname{trace}(B)B-I$ o $\operatorname{trace}(B)B=2I$. De ello se desprende que $B=kI$ para algún número real $k$. Sin embargo, desde $B^2=I$, $k$ debe ser igual a $\pm1$. Por lo tanto,$A^2=B=\pm I$.
Para tu segunda pregunta, la respuesta depende de lo que la generalización de que usted tiene en mente. Si usted se está preguntando si $A^2$ debe $\pm I$ al $A^n=I$, la respuesta es no. Aquí está un ejemplo contrario: $$ A=\pmatrix{0&-1\\ 1&-1},\ a^3=I,\ A^2=\pmatrix{-1&1\\ -1&0}\ne\pm I. $$
TrialAndError
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Si $A^{2}\ne I$, entonces no es un no-vector cero $X$ tal que $Y=(A^{2}-I)X \ne 0$. A continuación,$(A^{2}+I)Y=0$. Si $A^{2}\ne -I$, $Y=(A^{2}+I)X \ne 0$ algunos $X$, lo que da $(A^{2}-I)Y=0$. La combinación de estos, consigue $Y_1,Y_2$ tal que $A^{2}Y_1=Y_1$$A^{2}Y_2=-Y_2$. Usando esto como base, $$ A^{2}=P^{-1}\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right]P. $$ Eso no es posible debido a que $\det(A^{2})=\det(A)^{2} \ne -1$. Así que, o bien $A^{2}=I$ o $A^{2}=-I$.
