Fondo
Representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo $GL_n$ están parametrizados por los pesos más altos, es decir, por secuencias no crecientes de números enteros $$ \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n. $$ Limitémonos al caso en que $\lambda_n \ge 0$ . Entonces se puede codificar un peso mayor mediante un diagrama de Young con $\lambda_i$ casillas del $i$ - en la cuarta fila.
La regla de Littlewood-Richardson describe la descomposición de un producto tensorial $V^\lambda \otimes V^\mu$ en un directo suma directa de irreducibles. Dice que la multiplicidad de $V^\nu$ en el producto tensorial $V^\lambda \otimes V^\mu$ es igual al número de los llamados tableux de Littlewood-Richardson en el diagrama oblicuo $\nu\setminus\lambda$ de peso $\mu$ . Véase Regla Littlewood-Richardson para obtener definiciones precisas.
Obsérvese que la regla no es simétrica con respecto a $\lambda$ y $\mu$ ¡!
Por otra parte, la categoría de representaciones de $GL_n$ tiene un morfismo de conmutatividad: es un isomorfismo bifunctorial $$ c_{V,W}:V\otimes W \to W\otimes V, \qquad v\otimes w \mapsto w\otimes v. $$
Pregunta
¿Existe la posibilidad de que la regla Littlewood-Richardson compatible con el morfismo de conmutatividad?
Para ser más precisos, ¿hay alguna forma de asociar a cada cuadro de Littlewood-Richardson en un diagrama oblicuo $\nu\setminus\lambda$ de peso $\mu$ una incrustación $V^\nu \to V^\lambda\otimes V^\mu$ tal que la composición $V^\nu \to V^\lambda\otimes V^\mu \stackrel{c}\to V^\mu\otimes V^\lambda$ es la incrustación asociada a una tabla Littlewood-Richardson en un diagrama oblicuo $\nu\setminus\mu$ de peso $\lambda$ ?
Permítanme hacer hincapié en que estoy preguntando acerca de la $GL_n$ caso, aunque esta cuestión tiene sentido para cualquier grupo reductor.
