Cuando yo era estudiante de posgrado, Jack Silver era famoso por intentar refutar, en primer lugar, la existencia de cardinales mensurables y, en segundo lugar, la consistencia de ZFC. Su intento de refutar los cardinales medibles condujo directamente a la teoría de los indiscernibles ordinales sobre $L$ y $0^\sharp$ que son ahora una parte esencial de nuestra comprensión de la naturaleza del universo construible en presencia de grandes cardinales. Qué asombrosa y valiosa contribución al tema había hecho de ese modo, aunque nunca hubiera logrado su objetivo inicial de refutar los cardinales mensurables.
Y aunque he oído a mucha gente hablar en contra del programa de investigación de incoherencias de Silver, mi opinión siempre ha sido:
Observación principal. No podemos demostrar que las ideas de Silver sobre la incoherencia sean incoherentes.
Debido al teorema de incompletitud, sabemos que incluso si ZFC es consistente, entonces es consistente con ZFC sostener que son inconsistentes. Por lo tanto, la visión del mundo de Silver será tan consistente como la de su oponente, y nunca habrá un argumento contra la opinión de que ZFC es inconsistente que no plantee la pregunta asumiendo que esta teoría es consistente o algo más fuerte.
Mientras tanto, por supuesto, muchos teóricos de conjuntos, incluyendo casi todos los teóricos de conjuntos cardinales grandes (pero no todos, como Silver), creen no sólo que ZFC es consistente, sino que la consistencia está mucho más arriba en la jerarquía cardinal grande. No hay pruebas, por las razones que he dado más arriba.
Otra parte de mi opinión, sin embargo, es que precisamente porque no podemos demostrar que ZFC y los grandes cardinales son consistentes es por lo que nos interesan. A saber, Gödel había identificado con su teorema el fenómeno de la incompletitud, y a partir de ahí sabemos de la existencia de una torre de teorías que se sitúa transfinitamente por encima de cualquier teoría fundacional que podamos considerar. Nosotros conozca hay una torre de teorías más fuertes por encima de cualquier teoría $T$ que podríamos tener. Una forma de construir tal torre de teorías es formar las teorías $T+\text{Con}(T)$ y $T+\text{Con}(T+\text{Con}(T))$ etc.
Pero lo notable es que las propias teorías de los grandes cardinales instancian la torre predicha de fuerza de consistencia creciente. Estas teorías no están formadas por algún cierre trivial bajo enunciados de consistencia, sino que expresan enunciados profundos de combinatoria infinita incontable. Así pues, estos axiomas tienen un interés independiente y, sin embargo, cumplen la predicción de la torre de fuerza de consistencia.
Así que nos alegramos de haber encontrado en la gran jerarquía cardinal la torre predicha de la fuerza de consistencia, y no es preocupante que no podamos demostrar la consistencia - más bien, esta era justo la característica que estábamos buscando.
Descargo de responsabilidad. Aunque he oído a Silver hablar largo y tendido sobre la teoría de conjuntos, pues he asistido a varios de sus cursos de posgrado, ni una sola vez le oí hablar de su programa de investigación sobre la inconsistencia. Todo lo que sé al respecto es de segunda mano, de otros teóricos de conjuntos de alto nivel de los que no tengo motivos para dudar. Supongo que, a la luz de la amplitud de los puntos de vista opuestos, podría haber tenido algún sentido o ser al menos comprensible que Silver mantuviera su programa de investigación relativamente en privado. Pero, en realidad, me hubiera gustado que diera una serie de charlas sobre su programa de investigación y sus puntos de vista sobre el asunto, ¡hubiera sido fascinante! (Desde mi perspectiva actual, lo achaco a las diferentes normas culturales sobre los niveles tolerables de desacuerdo en matemáticas frente a filosofía).
