Ayuda para la aplicación de la regla de Leibnitz

Question

Estoy tratando de entender y resolver lo siguiente:

$$f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}{f_X(x)}dx=?$$ Los antecedentes son los siguientes $f_X(x)$ es la pdf de la variable aleatoria $X$ que sigue la distribución normal estándar. $Y$ se define como $Y=X^2$ . Cabe señalar que $x$ es por lo tanto $-\sqrt{y}$ y $\sqrt{y}$ . El problema dice "pista: usa la regla de Leibnitz". El principal problema que tengo es que en esta pregunta, el formato de la pregunta es diferente al formato de los ejemplos que he visto. El Teorema de Leibnitz en nuestro libro de texto, así como en todos los ejemplos que he podido encontrar en otras fuentes, se demuestra para resolver problemas de la forma $$\frac{d}{d\theta}\int_{a(\theta)}^{b(\theta)}{f(x, \theta)}dx$$ EDIT: Por diferentes formatos, me refería a que los ejemplos tienen integrandos que son multivariantes y el problema que me dieron tiene un integrando univariante. Mi confusión vino de intentar determinar cómo aplicar un teorema que me explicaron en términos de variables múltiples a un problema univariante sin invalidar accidentalmente el resultado. El uso de $\theta$ o $y$ no era fuente de confusión.

De esta forma, podría escribir la fórmula canónica y simplemente "enchufar y tirar", pero como el problema que intento resolver es univariante, no estoy seguro de cómo aplicar el teorema. Parece que todo puede de una manera u otra ser cambiado en términos de $x$ (que puede ser la cuestión y es una especie de pregunta trampa ). Esto se agrava por el hecho de que soy nuevo en la teoría estadística, así que estoy tratando de lidiar con una mala comprensión de las transformaciones, además de tratar de interpretar preguntas como esta en formatos no estándar.

No estoy pidiendo la respuesta al problema. Estoy preguntando cómo interpretar tal problema, cómo enfocarlo y por qué el enfoque funciona. Mi inclinación sería decir que es igual a cero, pero no confío en esa respuesta, ya que ni siquiera estoy seguro de conocer el significado de la pregunta. Incluso si es cero, me gustaría ver la línea de pensamiento de otra persona para llegar a esa conclusión.

Answer 1

Pistas:

Como sabes y dices claramente, la regla de Leibniz dice algo así como

Si $F(\theta) = \displaystyle\int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x; \theta) \,\mathrm dx$ donde $a(\theta), b(\theta)$ y $f(x; \theta)$ son funciones diferenciables de $\theta$ entonces \begin{align}\frac{\mathrm dF(\theta)}{\mathrm d\theta} &= \frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x; \theta) \,\mathrm dx\\ &= \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} \frac{\partial f(x; \theta)}{\partial\theta} \,\mathrm dx + f(b(\theta); \theta)\frac{\mathrm db(\theta)}{\mathrm d\theta} - f(a(\theta); \theta)\frac{\mathrm da(\theta)}{\mathrm d\theta}\tag{1}\end{align}

pero algunos bichos raros como yo van tan lejos como para reemplazar $\theta$ por $y$ en todas partes en $(1)$ y afirmar que también es cierto que

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\int_{a(y)}^{b(y)} f(x; y) \,\mathrm dx = \int_{a(y)}^{b(y)} \frac{\partial f(x; y)}{\partial y} \,\mathrm dx + f(b(y); y)\frac{\mathrm db(y)}{\mathrm dy} - f(a(y); y)\frac{\mathrm da(y)}{\mathrm dy}\tag{2}.$$ Entonces, si elijo $a(y)=-\sqrt{y}, b(y) = +\sqrt{y}$ y defina $f(x;y) = f_X(x)$ (es decir, siendo una función constante de $y$ por lo que tiene una derivada parcial con respecto a $y$ de $0$ ), entonces $(2)$ se simplificaría a $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\int_{-\sqrt{y}}^{+\sqrt{y}} f_X(x) \,\mathrm dx = \int_{a(y)}^{b(y)} 0 \,\mathrm dx + f_X\left(+\sqrt{y}\right)\frac{\mathrm d\sqrt{y}}{\mathrm dy} + f_X\left(-\sqrt{y}\right)\frac{\mathrm d\sqrt{y}}{\mathrm dy}$$ que podría resolverse enchufando y enchufando mediante la sustitución de $f_X$ con la densidad normal estándar y calcular la derivada de $\sqrt{y}$ etc., pero como aparentemente no estás de acuerdo en que $(2)$ se deduce de $(1)$ No puedo ayudarte.

La forma más fácil de hacer este problema (evitando todo el alboroto sobre la regla de Leibniz) es hacer lo que sugiere tu profesor y encontrar $F_Y(y)$ explícitamente para $y \geq 0$ en términos de la función CDF gaussiana estándar $\Phi(\cdot)$ : $$F_Y(y) = P\left\{X^2 \leq y\right\} = P\left\{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\right\} = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi\left(-\sqrt{y}\right)$$ y hallar su derivada con respecto a $y$ recordando la regla de la cadena para la diferenciación del primer curso de cálculo, y recordando que la derivada de $\Phi(x)$ es $\phi(x)$ la función de densidad gaussiana estándar.