Límite inferior de entropías positivas de automorfismos en tori

Question

Sea $A$ sea un automorfismo sobre tori $\mathbb{T}^d$ . Es bien sabido que la entropía topológica $$ h(A)=\sum_{\lambda} \max\{0, \log|\lambda| \} $$ donde $\lambda$ pasa por todos los valores propios de $A$ con multiplicidad.

Consideremos el caso en que $h(A)>0$ . Me gustaría preguntar cuáles son los límites inferiores $$ \inf_{A\in SL(d,\mathbb{Z}),h(A)>0} h(A) $$ y $$ \inf_{A\in SL(d,\mathbb{Z}),h(A)>0, d\ge 2} h(A). $$ Gracias.

Answer 1

Para fijos $d$ el límite inferior más conocido se debe a Dobrowolski, que demostró que si $h(A)>0$ entonces $$h(A) > \log\Big[1+\frac{1}{1200}\Bigl(\frac{\log\log d}{\log d}\Bigr)^3\Bigr].$$

Para esto y mucho más, véase el artículo de Chris Smyth La medida de Mahler de los números algebraicos: un estudio arXiv:math/0701397v2 [math.NT].

Answer 2

Tenemos $h(A)=\log\mathcal M(p)$ la medida de Mahler del polinomio característico de $M$ donde $M$ es la matriz que especifica $A$ . Así que si asumimos Conjetura de Lehmer (que sigue sin demostrarse), entonces la respuesta es $\approx\log 1.17628$ . (Supongo que permite determinantes negativos, es decir, es $GL(d,\mathbb Z)$ en lugar de $SL(d,\mathbb Z)$ .)