Encontrar todas las soluciones enteras positivas de la ecuación $n^5+n^4 = 7^m-1$

Question

Encontrar todas las soluciones enteras positivas de la ecuación $n^5+n^4 = 7^m-1$ .

Supongamos que $n$ es impar. Entonces tenemos $$n^5+n^4 \equiv \pm 2 \not \equiv 7^m-1 \pmod{7}.$$ Así $n$ es par. Sea $n = 2k$ para algún número entero positivo $k$ y tenemos $$n^4(n+1) = 16k^4(2k+1) = 7^m-1,$$ así que como $7^m \equiv 7 \pmod{16}$ para impar $m$ y $7^m \equiv 1 \pmod{16}$ para incluso $m$ se deduce que $m$ es par. Sea $m = 2j$ para algún número entero positivo $j$ . Entonces la ecuación es $$16k^4(2k+1) = 7^{2j}-1.$$ Así, $7^{2j} = 16k^4(2k+1)+1$ .

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Answer 1

Empecemos por observar que $$ n^5+n^4 + 1 = (n^2 + n + 1)(n^3-n+1). $$ Ahora, dejemos que $d=gcd(n^2 + n + 1,n^3-n+1)$ . Tenga en cuenta que, $d\mid n^2 + n + 1 \implies d\mid n^3 - 1$ . Por lo tanto, $n^3 \equiv 1\pmod{d}.$ Pero como $d|n^3-n+1$ debemos tener, $n\equiv 2\pmod{d}$ . Por lo tanto, $d|7$ Por lo tanto $d$ es $1$ o $7$ .

Tenga en cuenta que $n=2$ y $m=2$ es una solución. Supongamos que $n \geq 3$ . $n^3-n+1>n^2+n+1$ . A partir de la condición sobre $d$ debemos tener $n^2+n+1 = 1$ o $7$ . Pero está claro que la única $n$ que cumple esto es $n=2$ .

Por lo tanto, $(2,2)$ es la única solución.