¿Cuáles son las ramas de la $p$-ádico zeta función?

Question

Estoy leyendo el libro de $p$-ádico Números, $p$-ádico de Análisis, y Zeta-Funciones por Neal Koblitz. En ella, Koblitz quiere iterpolate la Riemann Zeta función de los valores de $\zeta_p(1-k)$ $k \in \mathbb{N}$ donde $\zeta_p(s) = (1-p^s)\zeta(s)$. Haciendo esto, se define la siguiente función:

$$ \zeta_{p,s_0}(s) = \frac{1}{\alpha^{-(s_0+(p-1)s)}-1} \int_{\mathbb{Z}_p^*}x^{s_0+(p-1)s-1}\mu_{1,\alpha},$$ with $s_0 \in \{0,1,2,\ldots,p-2\}$ and $s \in \mathbb{Z}_p$. Luego dice, que esta $\zeta_{p,s_0}$ 'ramas' de $\zeta_p$. Mi pregunta es: ¿cómo se $\zeta_{p,s_0}$ definir una rama ? $\zeta_{p,s_0}$ generalmente no interpolar los valores de $\zeta_p(1-k)$ incluso para $k \equiv s_0 \bmod (p-1)$, ya que hemos $$k =s_0+k_0(p-1) \Rightarrow \zeta_p(1-k) = \zeta_{p,s_0}(k_0)$$ and not $\zeta_p(1-k) = \zeta_{p,s_0}(1-k)$. So my question is really: what are the real branches of the $p$-ádico zeta función ?

Answer 1

De acuerdo con la idea de Tate tesis, la de Riemann zeta función de $\zeta(s)$ debe ser pensado como una distribución en la idèles $\text{GL}_1(\mathbf A_\mathbf Q)$$\mathbf Q$. La integración de esta distribución en contra de los caracteres complejos de $\text{GL}_1(\mathbf A_\mathbf Q)$ da los valores de la función zeta.

Iwasawa mostró que el $p$-ádico de Riemann zeta función construido por Kubota y Leopoldt admite una construcción similar. El objeto en el que juega el papel de la idèles es $\mathbf Z_p^\times$; el papel de los caracteres complejos de la idèles es desempeñado por el $p$-ádico de los personajes en el peso de espacio $W=\text{Hom}_{\text{cont}}(\mathbf Z_p^\times, \mathbf Q_p^\times)$ (continua homomorphisms). Este grupo es canónicamente isomorfo a $\mathbf Z/(p-1)\mathbf Z \times \mathbf Z_p$. La función zeta por lo tanto puede ser visto como un $p$-ádico valores de la función en $\mathbf Z/(p-1)\mathbf Z \times \mathbf Z_p$. Las diversas restricciones a $s \in \mathbf Z/(p-1)\mathbf Z$ son las "ramas" de la función zeta como pueden ver en Kobliz del libro.

Edit: he cambiado esta respuesta, por lo que Sánchez comentario no está relacionado. (Lo que había antes era verdadero, pero creo que no fue la mejor manera de ver esto.)