Ecuación Vout/Vin en el dominio del tiempo frente al dominio de la frecuencia

Question

Al estudiar los circuitos op-amp, observo un patrón entre la ecuación Vout/Vin en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo:

(imágenes de Microelectrónica de Bahzad Razavi, 2/e)

La función de transferencia de este circuito en el dominio de la frecuencia es \$-R_1 \times C1 \times s\$ Significado \$V_{out} = -R_1 \times C_1 \times s \times V_{\text{in}}\$ .

En el dominio del tiempo, \$V_{out} = -R_1 \times C_1 \times \left(\frac {dV_{\text{in}}}{dt}\right)\$

Es como si \$s \times V_{in}\$ corresponde a \$\frac{dV_{\text{in}}}{dt}\$ . Hay otros ejemplos en los que \$V_{\text{in}}\$ en el dominio del tiempo corresponde a \$V_{\text{in}}\$ en el dominio de la frecuencia y \$\frac{V_{\text{in}}}{s}\$ corresponde a integrales de \$V_{\text{in}}\$ .

Parece que \$s\$ en el dominio de la frecuencia significa derivadas(?) en el dominio del tiempo.

¿Se trata de un hecho general o de una mera coincidencia? Si no son coincidencias, ¿cómo se relacionan matemáticamente? ¿Algún tipo de transformación? Si es así, ¿por qué es correcta la transformación? Creo que hay una conexión más profunda entre las dos de la que aún no me he dado cuenta.

Answer 1

Por definición,

$$ s=j\omega+\sigma $$

donde \$\sigma\$ es la frecuencia de Neper y está relacionada con el decaimiento, y \$\omega\$ es la frecuencia angular y está relacionada con la oscilación.

En estado estacionario no hay decaimiento, es decir, para el análisis de estado estacionario se toma como cero. Entonces..,

$$ s=j\omega $$

Y esto viene de la derivada de la famosa exponencial compleja:

$$ \frac{d}{dt}e^{j\omega t}={j\omega}\ e^{j\omega t} $$

Por lo tanto

$$ \frac{d}{dt}=j\omega=s $$