Cálculo del porcentaje

Question

Me pregunto si mi respuesta para C sería correcta y si estaba entendiendo A correctamente. He oído que dibujar un diagrama de Venn podría ayudar, pero no estoy seguro de cómo convertir los números en un diagrama.

Un programa de control de calidad en una línea de producción de botellas de plástico consiste en inspeccionar las botellas acabadas para detectar defectos como agujeros microscópicos. La proporción de botellas que realmente tienen un defecto de este tipo es de sólo 0,0002. Si una botella tiene un defecto, la probabilidad de que no pase la inspección es de 0,995. Si una botella tiene un defecto, la probabilidad de que no pase la inspección es de 0,995. Si una botella no tiene ningún defecto, la probabilidad de que pase la inspección es de 0,99.

$P(F)=$ no pasa la inspección
$P(P)=$ Pasa la inspección
$P(f)=$ tiene un defecto.

a. Si una botella no pasa la inspección, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un defecto?
$P(F\cap f) = P(F) \times P(f|F)$

c. Si una botella pasa la inspección, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún defecto? $P(P \cap f^c) = \frac{(0.99)}{(0.995)} = 0.9949$

Answer 1

Lo que ayuda aquí es dibujar un árbol para estar al tanto de lo que ocurre. Pero eso es mucho más fácil con lápiz y papel que en la pantalla del ordenador, así que utilizamos un pobre sustituto, las fórmulas.

El problema (c) pide una probabilidad condicional . La formulación de la pregunta deja claro que queremos $\Pr(f^c|P)$ . Utilizamos la fórmula conocida $\Pr(f^c|P)\Pr(P)=\Pr(f^c\cap P)$ . Así que si podemos encontrar $\Pr(P)$ y $\Pr(f^c\cap P)$ estaremos acabados. Resultará que la respuesta es diferente de la que usted produjo.

Pasar la inspección puede ocurrir de dos maneras: (i) hay un defecto y la botella pasa la inspección o (ii) no hay ningún defecto y la botella pasa la inspección.

Para (i), la probabilidad de un defecto es $0.0002$ . Dado hay un fallo, la probabilidad de aprobar es $0.005$ por lo que la probabilidad de (i) es $(0.0002)(0.005)$ . Para (ii), la probabilidad de que no haya ningún defecto es $1-0.0002$ . Dado que no hay ningún fallo, la probabilidad de aprobar es $0.99$ por lo que la probabilidad de (ii) es $(0.9998)(0.99)$ .

Así $\Pr(P)=(0.0002)(0.005)+(0.9998)(0.99)$ .

Durante nuestro cálculo de $\Pr(P)$ calculamos $\Pr(f^c\cap P)$ es sólo la probabilidad de (ii). Así que $$\Pr(f^c|P)=\frac{(0.9998)(0.99)}{(0.0002)(0.005)+(0.9998)(0.99)}.$$ Obsérvese que el término (i) supone una contribución microscópica. La probabilidad condicional requerida es $1$ a efectos prácticos. Tiene sentido, apenas hay defectos para empezar.

Observación: Para (a), la ecuación que has escrito es la pertinente. Quieres $\Pr(f|F)$ . Ahora tienes que hacer un cálculo muy parecido al que hicimos antes. La respuesta numérica puede sorprenderte.