Combinación de funciones continuas y discontinuas

Question

Sé que combinando dos funciones continuas se obtiene una función continua, es decir, si $f(x)$ y $g(x)$ son continuas, entonces $f(x)\pm g(x)$ , $f(x)\times g(x)$ y $f(x)\div g(x)$ son continuos siempre que $g(x)\neq 0$ . Pero ¿y si $f(x)$ es continua y $g(x)$ son discontinuas y queremos determinar qué tipo de función $f(x)\times g(x)$ es.
He probado algo para demostrar que será discontinuo.

Sea $h(x)=f(x)\times g(x)$ .
Así, $g(x)=\frac{h(x)}{f(x)}$ donde $f(x)\neq 0$

Si $h(x)$ es continua, entonces $g(x)$ también es continua. Pero esto es contrario a nuestra suposición.

Así que.., $h(x)$ debe ser discontinua.
Así que.., $f(x)\times g(x)$ debe ser discontinua.

Esto está bien, pero cuando le pregunté a mi profesor me dijo que la multiplicación puede dar lugar a ambos tipos de funciones, continuas y discontinuas. Entonces, ¿qué me he perdido en mi derivación? ¿Debería haber considerado algo más o mi conclusión es errónea?

Answer 1

Ha demostrado que si $f(x)\neq 0$ y $g$ no es continua, entonces $f(x)\cdot g(x)$ no es continua. Tu prueba es correcta.

Sin embargo, si $f(x)$ pueden tener valores cero, no hay nada que hacer. Por ejemplo, si $f(x)=0$ para todos los valores de $x$ entonces $f\cdot g$ será continua pase lo que pase la función $g$ es.

Answer 2

Usted señala en su prueba que $f(x)\neq 0$ pero es perfectamente razonable que $f(x)=0$ .