Con la $n$ésimo número armónico define como $$ H_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} $$ I'm supposed to find the minimum EXACT value of $n$ such that $H_n>100$ . Sólo pude encontrar aproximaciones, pero mi profesor exige un valor exacto . Es esto posible ? Si es así, ¿cómo podemos encontrarlo?
Respuestas
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Roger Hoover
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Tenemos: $$ \log(n+1/2)+\frac{1}{24n^2}-\frac{1}{24n^3}\leq H_n-\gamma \leq \log(n+1/2)+\frac{1}{24n^2}$$ por lo tanto el menor número natural para que $H_n>100$ es de alrededor de $m=\left\lfloor e^{100-\gamma}-\frac{1}{2}\right\rfloor.$
Observe que $\psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\gamma+H_{x-1}$ es una función cóncava, ya que: $$ \psi'(x) = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+x)^2}.$$ Esto le da a que el método de Newton con el punto de partida $m$ es una muy buena opción para encontrar el valor exacto de la menor entero $n$ tal que $H_n>100$.
Andy
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21
El más simple pertinentes estimación se basa en las sumas de Riemann. Específicamente, si el tamaño del paso es$h=1$, $H_n$ es el correspondiente superior de la suma de Riemann para
$$\int_1^n \frac{1}{x} dx.$$
Por lo tanto $H_n \geq \ln(n)-\ln(1) = \ln(n)$. La solución de $\ln(n) \geq 100$ tenemos $n \geq e^{100}$.
Para los otros obligados, tenemos que
$$H_n - 1 \leq \int_1^n \frac{1}{x} dx \Rightarrow H_n \leq \ln(n)+1.$$
La solución de $\ln(n)+1 \leq 100$ tenemos $n \leq e^{99}$, por lo que su mínima respuesta será entre el$e^{99}$$e^{100}$.
Esto es claramente bastante crudo. Sin embargo, la única forma de mejorar esto es para estimar con precisión la de Euler-Mascheroni constante $\gamma$, ya que al $n$ es grande tenemos $H_n \approx \ln(n) + \gamma$, lo que significa que el mínimo de respuesta debe estar en la vecindad de $e^{100-\gamma}$.
Farhadix
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126
La respuesta es $$\lceil\chi\rceil$$ donde $\chi$ es la solución de $$\text{N}(\chi)=100$$ donde $\text{N}$ es la continuación analítica de la armónica de la función suma, y $\lceil\rceil$ es el entero techo de la función.
Esto puede ser calculado rápidamente en Mathematica:
Ceiling[x] /. Solve[HarmonicNumber[x] == 100, x][[1]]
que al instante de los rendimientos de la respuesta:
15092688622113788323693563264538101449859497
