Hallar el valor x mínimo de una función polar

Question

Estoy examinando principalmente las funciones limacon. Para la ecuación r= b + a*cos(theta), es fácil encontrar el radio mínimo, pero quiero encontrar el valor más negativo (entre un rango dado). Tomemos la función r=1,5 + 1,25*cos(theta) para 0<=theta<=180:

Sabemos que hay un radio mínimo en 180, pero me interesa lo que parecen ser dos valores x mínimos. ¿Cómo puedo encontrar estos valores?

He intentado parametrizar con lo que sabemos:

r=1,5 + 1,25*cos(theta)

x=r*cos(theta) => x=(1,5 + 1,25*cos(theta))*cos(theta) (sustitución)

Después he mirado el mínimo de esta función, pero no es el valor que espero. Se agradece cualquier aportación.

Answer 1

Si $$x(t)=\cos (t) \left(\frac{5 \cos (t)}{4}+\frac{3}{2}\right)$$ la diferenciación conduce a $$\frac{dx(t)}{dt}=-\frac{1}{2} \sin (t) (5 \cos (t)+3)$$ cuyas soluciones son $t=0$ y $t=\pm \cos ^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)$ . Para este último valor, debería encontrar $x=-\frac{9}{20}$

Answer 2

En $r = A + B \cos \theta$ multiplique por $r$ , dando como resultado $r^2 = A r + B x$ cuando hagamos su sustitución $r \cos \theta \rightarrow x$ . Resolver para $x$ , dando como resultado $x = \frac{r^2 - A r}{B} = \frac{r(r-A)}{B}$ . Este último se minimiza cuando $r = A/2$ (por simetría en el numerador). Sustituyendo esto, encontramos el mínimo $x$ valor es $-\frac{A^2}{4B}$ .

Nota: Podría maximizarse si sólo nos fijamos en la simetría. Dado que el coeficiente de $r^2$ es positivo, sabemos que es un mínimo.

Para su ejemplo, $A = 1.5, B = 1.25$ y $-\frac{1.5^2}{4(1.25)} = -0.45$ .

Answer 3

La derivada de $$y=1.5\cos(x)+1.25\cos^2(x)$$ es $$y'=-1.5\sin(x)-2.5\cos(x)\sin(x)=-0.5\sin(x)(3+5\cos(x))$$ Un cero de la derivada se encuentra cuando $x=0$ pero corresponde a los máximos. El segundo cero se produce cuando $$\cos(x)=-\frac{3}{5}$$ así que ahora conéctalo $$y_{min}=-\frac{9}{10}+\frac{9}{20}=-\frac{9}{20}$$

Answer 4

Intente pensar en todo en términos de $(x,y)$ coordenadas.

En primer lugar, convirtamos $r=1.5+1.25\cos(\theta)$ en cartesiano ( $(x,y)$ ).

Multiplicar por $r$ rendimientos: $$\underbrace{r^2}_{x^2+y^2}=1.5\underbrace{r}_{\sqrt{x^2+y^2}}+1.25\underbrace{r\cos(\theta)}_{x}.$$

Simplificando, obtenemos: $$(*) x^2+y^2=1.5\sqrt{x^2+y^2}+1.25x $$

Ahora, $(*)$ da una relación implícita entre $x$ y $y$ .

Diferencie $(*)$ (implícitamente) wrt $x$ para dar: $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1.5x}{\sqrt{x^2+y^2}}-2x+1.25}{2y-\frac{1.5y}{\sqrt{x^2+y^2}}}.$$

Los puntos a los que te refieres son los puntos de gradiente infinito (cuando $\frac{dx}{dy}=0$ ). Es decir, cuando $$(**) 2y-\frac{1.5y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 .$$

Ahora, $(**)$ da una relación entre $y$ y $x$ .

Ahora, resuelve $(*)$ y $(**)$ ¡Simultáneamente!