Naturaleza de la constante $c$ de $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}(1/k)^{1/k}-n+\frac{\log^2(n)}{2}-1\right)=c$

Question

Si tomamos $$\sum\limits_{k=1}^{n}(1/k)^{1/k}=a(n)$$ así que $$\lim\limits_{n\to\infty}\left(a(n)-n+\frac{\log^2(n)}{2}-1\right)=c$$ ¿Cuál es la naturaleza de la constante $c$ ? ¿Es realmente constante (tal vez sea función o suma de función y constante)?

Answer 1

Calculado mediante PARI/GP ( esto no es una respuesta a la pregunta sobre la "naturaleza"...). Escriba a $$1+c=\sum_{n=1}^{\infty}\left((1/n)^{1/n}-1+\frac{\ln^2(n+1)-\ln^2n}{2}\right)=F+G$$ (PARI no lo calcula de esta forma), donde $F=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ , $G=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}g\Big(\frac{\ln n}{n}\Big)$ , $$f(z)=\frac{\ln^2(1+z)-\ln^2z}{2}-\frac{\ln z}{z},\quad g(z)=e^{-z}-1+z.$$ En este caso, PARI $\texttt{sumnum}$ y $\texttt{sumnumap}$ calcula $G$ correctamente, pero no $F$ . Parece que en $$F=\frac{f(1)}{2}+\int_1^\infty f(x)\,dx+i\int_0^\infty\frac{f(1+it)-f(1-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dt$$ (esto es Fórmula Abel-Plana ), PARI no puede (o yo no pude hacerlo) calcular el elemental $$\int_1^\infty f(x)\,dx=-(1-\ln2)^2.$$ Pero, armado con estas intervenciones artesanales, consigo que funcione:

f(z)=(log(1+z)^2-log(z)^2)/2-log(z)/z;
g(t)=imag(f(1-I*t)-f(1+I*t))/(exp(2*Pi*t)-1);
a(n)={my(r=log(n)/n);return(exp(-r)-1+r)};
b=(log(2)/2)^2-(1-log(2))^2-1;
b+sumnum(n=1,a(n))+intnum(t=0,[+oo,2*Pi],g(t))

da $0.0090071648881637765017784106780358074$ (con la precisión por defecto).