Prueba de que $\Bbb R/\Bbb Z$ es isomorfo a $S^1$

Question

Acabo de aprender el primer teorema de isomorfismo para grupos y ahora necesito demostrarlo:

$$\Bbb R/\Bbb Z \cong S^1$$

En otras palabras, el grupo cociente de $\Bbb Z$ en $\Bbb R$ es isomorfo al $S^1$ (el grupo de todas las permutaciones de $1$ elementos, supongo).

Escribiré lo que entiendo sobre el primer teorema de isomorfismo para grupos:

Si tenemos $\phi: G\to G'$ como homomorfismo, entonces el grupo cociente

$$G/\ker(G)\cong G'$$

y el isomorfismo si viene dado por $\phi'$ que he olvidado exactamente cómo se da.

Por lo tanto, si quiero demostrar que

$$\Bbb R/\Bbb Z \cong S^1$$ usando el primer teorema de isomorfismo, necesitaría obtener de alguna manera $\Bbb Z$ sea el núcleo de un homomorfismo entre $\Bbb R$ y $S_1$ ? Porque el ejercicio no da ninguna información sobre cuál es el homomorfismo entre los dos conjuntos, así que estoy pensando en crear uno. ¿Estoy haciendo lo correcto?

Answer 1

Ver $S^1$ como el círculo unitario en $\Bbb C$ con la multiplicación como operación de grupo. Sea $$\varphi:\Bbb R\to S^1,\quad\varphi(x)=e^{2\pi i x}.$$ Es fácil demostrar que $\varphi$ es un homomorfismo de grupo suryectivo, y que $\ker\varphi=\Bbb Z$ . Ahora, puedes usar el primer teorema de isomorfismo.