Suma de $\sum_{k=0}^{\infty} k \rho^{k-1}$

Question

Encuentro la serie infinita $\sum_{k=0}^{\infty} k \rho^{k-1}$ en un libro de texto de matemáticas donde se da directamente la respuesta a ser $\dfrac{1}{(1-\rho)^2}$ cuando $|\rho| < 1$ . Sin embargo, no entiendo cómo obtener este resultado. ¿Podría alguien darme una pista de cómo enfocar este problema?

Answer 1

Se trata de una serie aritmético-geométrica. Un término $(k)$ está en progresión aritmética, mientras que el otro $(\rho^{k-1})$ está en progresión geométrica. Converge para $|\rho|<1$ . Puedes encontrar el valor así:

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{\infty}k\rho^{k-1}=1+2\rho+3\rho^2+4\rho^3...$

$\displaystyle\rho S=\sum_{k=1}^\infty k\rho^k=\rho+2\rho^2+3\rho^3+4\rho^4...$

$\displaystyle (1-\rho)S=1+\rho+\rho^2...=\frac1{1-\rho}$ para $|\rho|<1$

$\displaystyle\therefore S=\frac1{(1-\rho)^2}$