Suma de $\sum_{k=0}^{\infty} k \rho^{k-1}$

Question

Encuentro la serie infinita $\sum_{k=0}^{\infty} k \rho^{k-1}$ en un libro de texto de matemáticas donde se da directamente la respuesta a ser $\dfrac{1}{(1-\rho)^2}$ cuando $|\rho| < 1$ . Sin embargo, no entiendo cómo obtener este resultado. ¿Podría alguien darme una pista de cómo enfocar este problema?

Answer 1

Empezar con la suma geométrica $$\frac 1{1-x}=\sum\limits_{n\geq0}c^n$$ Ahora diferéncielo con respecto a $x$ para obtener $$\frac 1{(1-x)^2}=\sum\limits_{n\geq0}n x^{n-1}$$

Answer 2

Sugerencia : Por la serie geométrica, se tiene

$$\sum_{n \geq 0} r^n = \frac{1}{1-r}; \quad \vert r\vert < 1$$

Intenta diferenciar ambos lados con respecto a $r$ y vea qué obtiene como resultado.

Answer 3

Pista: Piensa en la serie convergente $$\sum_{k=0}^\infty \rho^k=\frac{1}{1-\rho}, \qquad |\rho|<1,$$ y diferenciar ambos lados con respecto a $\rho$ (¿por qué es posible intercambiar diferenciación y suma?).

Answer 4

Si estás familiarizado con la fórmula y la derivación de la serie geométrica, entonces puedes justificar esto demostrando que puedes pasar derivadas a una serie dentro del radio de convergencia. Este puesto contiene un buen resumen de por qué es válido lo que vamos a hacer.

Recuerda lo siguiente: $$ \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x} \quad \text{when } |x|<1 $$ Si se diferencian ambos lados se obtiene lo siguiente: $$ \sum_{k=0}^\infty kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \quad \text{when } |x|<1 $$

Answer 5

He aquí un método que evita el uso de derivadas o integrales. Sea $S$ sea la suma de las series. Al distribuir $\rho$ entre los sumandos de su serie, demuestre que $\rho S = S - \sum_{k = 0}^\infty \rho^k$ . Utiliza la fórmula para la suma de una serie geométrica y resuelve para $S$ para obtener $S = \dfrac{1}{(1 - \rho)^2}$ .