Comprender la secuencia exacta $\Bbb{Z}\to \text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U)\to 0$

Question

El siguiente es un ejercicio de la página 5 de este documento sobre los Grupos Picard:

Sea $Z$ sea un divisor primo en una variedad lisa $X$ y que $U$ denotan el complemento $X\setminus Z$ . Demuestre que la secuencia $$\Bbb{Z}\to \text{Pic}(X)\to \text{Pic}(U)\to 0$$ es exacta. El mapa de $\Bbb{Z}\to \text{Pic}(X)$ es de la forma $1\to Z$ donde $Z$ es el divisor primo elegido anteriormente.

Utiliza ahora este resultado para demostrar que $\text{Pic}(\Bbb{P}^n)=\Bbb{Z}$ para cualquier $n\in\Bbb{N}$ .

Puede que lo esté haciendo mal, pero creo que el mapa de $\Bbb{Z}$ a $\text{Pic}(X)$ es el mapa cero, ya que $Z$ corresponde a un divisor principal en $\text{Div}(X)$ . Además, el mapa $\text{Pix}(X)\to \text{Pic}(U)$ es el mapa de identidad.

Si ambas cosas son ciertas, que no creo que lo sean, entonces no tengo forma de demostrar que $\text{Pic}(\Bbb{P}^n)=\Bbb{Z}$ . ¿Estoy entendiendo mal la secuencia exacta indicada anteriormente?

Answer 1

$Z$ no tiene por qué ser un divisor principal, por ejemplo si $Z \subset \Bbb P^2$ es una línea. En cualquier caso tienes un mapa $\Bbb Z \to Pic(X), 1 \mapsto [Z]$ .

El mapa $Pic(X) \to Pic(U)$ viene dada por la restricción : $D \mapsto D \cap U$ donde $D$ es un divisor primo y se extienden por linealidad. En particular, la composición es cero y su secuencia es exacta. La subjetividad se debe a que cualquier divisor $D \subset U$ puede extenderse a un divisor $\tilde D \subset X$ (sólo toma el cierre).

Ahora $Pic(\Bbb A^n) = 0$ porque $k[x_1, \dots, x_n]$ es un UFD. Así que tienes una suryección $\Bbb Z \to Pic(\Bbb P^n)$ tomando la imagen de un hiperplano, y es fácil ver que este mapa es una biyección.

Answer 2

El ejemplo más sencillo es cuando $X$ es una curva proyectiva suave, digamos sobre $\mathbb C$ .
Entonces un divisor primo es un único punto $P\in X$ y el morfismo de grupo $$j:\mathbb Z\to \operatorname {Pic(X)}:n\mapsto [nP]$$ es inyectiva.
Razón: cualquier divisor principal $$\operatorname {div}f=\sum n_iP_i\in \operatorname {Prin}(X)\subset \operatorname {Div(X)}$$ tiene grado $\sum n_i=0$ de modo que $nP$ sólo puede ser principal si $n=0.$
Pero, ¿es $j$ ¿subjetivo?

$\bullet$ Si el género de $X$ es cero, es decir, si $X=\mathbb P^1$ obtenemos un isomorfismo $j:\mathbb Z\stackrel{\cong}{\to}\operatorname {Pic(X)}$
Razón: $\operatorname {Pic(U)}=\operatorname {Pic(\mathbb A^1)}=0$ porque $\mathcal O(\mathbb A^1)=\mathbb C[T]$ y un UFD tiene grupo Picard cero.

$\bullet \bullet$ Si $X$ tiene género positivo $g$ entonces $j$ no es suryectiva.
Razón: $\operatorname {Pic(X)}$ es no numerable. Más precisamente: el grupo $\operatorname {Pic(X)}$ puede dotarse de la estructura de una variedad compleja lisa (no conectada) de dimensión $g$ (este es un resultado no trivial).

Observaciones
1) Obsérvese cuidadosamente que la inyectividad de $j$ impide (para cualquier valor del género $g$ ) el morfismo de grupo $\operatorname {Pic(X)}\to \operatorname {Pic(U)}$ de ser biyectiva (contrariamente a lo que pensabas según la novena línea de tu pregunta).
2) Si $X$ no es una curva proyectiva suave $j$ no tiene por qué ser inyectiva.
El contraejemplo más sencillo es $X=\mathbb A^1$ : como ya he mencionado $\operatorname {Pic}(\mathbb A^1)=0$ de modo que $j:\mathbb Z\to \operatorname {Pic}(\mathbb A^1)=0$ no es inyectiva.