¿Se ha demostrado que es normal alguna cifra que no se construyó para serlo?

Question

Es fácil construir un ejemplo de un número que es normal en una base dada, pero para la mayoría de los números dados es notoriamente difícil demostrar que son normales.

¿Se ha demostrado alguna vez que es normal algún número (ya sea en una base concreta o en todas las bases) que no haya sido construido específicamente para ser normal? Digamos, un número que ya había sido definido y explorado en un artículo anterior no relacionado con la normalidad, pero que sólo se demostró que era normal en un artículo posterior. (Para responder a esta pregunta no es necesario proporcionar los dos artículos; sólo estoy explicando lo que busco. No cuenta si el artículo original contenía una "casi prueba" de la normalidad, y luego un artículo posterior se limitó a completar algunos pasos que faltaban).

El único ejemplo posible que conozco son los Constantes de Chaitin aunque no estoy seguro de si se dio cuenta inmediatamente de que son normales, o si fue una simple prueba una vez que a alguien se le ocurrió hacer la pregunta. (Además, las constantes de Chaitin no son computables, mientras que yo preferiría un ejemplo que fuera un número computable). Idealmente, me gustaría un ejemplo de una prueba altamente no trivial de la normalidad para un número bien estudiado, de tal manera que el hallazgo de la normalidad fuera muy "sorprendente".

También estaría interesado en pruebas "no triviales" de la no -normalidad de un número previamente estudiado, pero admito que en este caso es difícil precisar exactamente lo que quiero decir con "no trivial", porque (por ejemplo) todo número racional no es normal.

Answer 1

Cita de la edición de 2018 Números normales e informática por V.Becher y O.Carton (In Sequences, groups, and number theory (pp. 233-269). Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-69152-7_7 ):

"Todos los ejemplos conocidos de números normales se han obtenido mediante construcciones".

Esto no es demasiado sorprendente, si es cierto. Esta afirmación no está del todo clara (véanse también los comentarios a continuación), aunque podría ser algo más débil que "se han construido específicamente para mostrar un ejemplo de normalidad". Por ejemplo, la constante de Champernowne es básica en dinámica simbólica (la expansión de su versión de base-2 es el caso-modelo de un punto transitivo, y un punto recurrente pero no uniformemente recurrente, bajo el desplazamiento), y no creo que fuera definida por Champernowne en su artículo de 1933 sólo, o principalmente, para mostrar un ejemplo de número normal (pero véase el comentario de Timothy Chow más abajo).

Este ejemplo responde también a una pregunta que planteaste en un comentario: los números normales tienen importantes conexiones con la teoría de sistemas dinámicos, entre otras cosas. Véase, por ejemplo, la obra de referencia de 2006 Resultados antiguos y nuevos sobre la normalidad por M.Queffélec.