Dada la solución de una ecuación diferencial, halla la ecuación diferencial correspondiente

Question

La solución de una ecuación diferencial es: $$\left \{ \begin{array}{lcl} x_1(t) & = & e^{-2t}-e^{-5t} \\ x_2(t) & = & e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-5t} \\ x_3(t) & = & e^{-3t} + e^{-5t} \end{array}\right .$$ con condiciones iniciales $$\left \{ \begin{array}{lcl} x_1(0) & = & 0 \\ x_2(0) & = & 3 \\ x_3(0) & = & 2 \end{array}\right .$$ ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente?

Había resuelto otra pregunta de álgebra lineal utilizando la sustitución inversa y sé que eso es lo que voy a tener que hacer aquí. En el problema anterior estaba sustituyendo $A=QR$ y encontrar $\mathcal A$ . Sólo que no estoy seguro de qué enfoque utilizar en esta situación.

$Ax=b$

$A=x^{-1}b$

Cualquier ayuda es muy apreciada :)

Answer 1

Escribir

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{-2t} \\ e^{-3t} \\ e^{-5t}\end{pmatrix},$$

tenemos

$$\begin{array}{ll} \color{DarkOrange}{\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}} & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2e^{-2t} \\ -3e^{-3t} \\ -5e^{-5t}\end{pmatrix} \\ & = \color{Purple}{\begin{pmatrix}-2 & 0 & 5 \\ -2 & -3 & -5 \\ 0 & -3 & -5\end{pmatrix}} \begin{pmatrix}e^{-2t} \\ e^{-3t} \\ e^{-5t}\end{pmatrix} \\ & = \color{Blue}{\begin{pmatrix}? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ?\end{pmatrix}}\color{Green}{\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}e^{-2t} \\ e^{-3t} \\ e^{-5t}\end{pmatrix} \\ & \color{DarkOrange}{= \begin{pmatrix}? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ?\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}.} \end{array}$$

Se puede resolver la matriz desconocida mediante

$$\begin{array}{ll} & \color{Purple}{\begin{pmatrix}-2 & 0 & 5 \\ -2 & -3 & -5 \\ 0 & -3 & -5\end{pmatrix}}=\color{Blue}{\begin{pmatrix}? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ?\end{pmatrix}}\color{Green}{\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}} \\ \iff & \begin{pmatrix}-2 & 0 & 5 \\ -2 & -3 & -5 \\ 0 & -3 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ?\end{pmatrix}. \end{array}$$