Una versión refinada del teorema de la altura de Krull

Question

Un resultado clásico en geometría algebraica afirma que cada componente irreducible de una variedad definida por $r$ polinomios en afín $n$ -el espacio tiene una dimensión no inferior a $n-r$ . Este es un caso especial del teorema de la altura de Krull, que afirma que en un anillo noetheriano todo ideal primo mínimo por encima de un ideal generado por $r$ tiene una altura máxima de $r$ . Me gustaría saber si este límite es válido para todos los primos asociados, es decir, también para los primos incrustados.

Para ser precisos, la pregunta es la siguiente: Sea $k$ sea un campo y $f_1,\ldots,f_r\in k[x_1,\ldots,x_n]$ polinomios en $n$ -variables ( $r< n$ ). Supongamos que el ideal $I=(f_1,\ldots,f_r)$ generado por el $f_i$ no contiene $1$ . ¿Es cierto que $\dim(k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{p})\geq n-r$ para cada ideal primo asociado $\mathfrak{p}$ de $k[x_1,\ldots,x_n]/I$ ?

Me parece una pregunta bastante natural y por eso me cuesta creer que sea la primera en pensar en ello. Sin embargo, hasta ahora no he podido encontrar nada en la literatura. Esto parece indicar que podría no ser cierto. Al mismo tiempo, no parece demasiado fácil encontrar un contraejemplo. Obsérvese que en un anillo de Cohen-Macaulay todo ideal de altura $r$ generado por $r$ elementos no está mezclado, es decir, no tiene primos incrustados. En concreto, la respuesta es "sí" si $\dim(k[x_1,\ldots,x_n]/I)=n-r$ .

Answer 1

No, no es cierto. Un ejemplo contrario es el ideal $\langle xz, yw, xw+yz \rangle$ que tiene $3$ pero tiene un primo asociado de codimensión 4 en el origen. No estoy seguro de cuánto explica, pero recuerdo este ejemplo como el ideal de pares de formas lineales cuyo producto es cero, es decir, los coeficientes de $(xt + y)(zt + w)$ considerado como un polinomio en $t$ . Esto al menos permite ver enseguida que los mínimos primos son $\langle x, y\rangle$ y $\langle z, w \rangle$ .