Sorpresas ur-elementales

Question

Durante la mayor parte de mi vida (matemática), creí que realmente no había ninguna diferencia esencial entre la teoría de conjuntos sin urelementos y la teoría de conjuntos con urelementos. Sin embargo, aunque eso puede ser cierto en ciertos sentidos gruesos, hay ocasiones en las que las cosas cambian realmente si se utilizan urelementos.

Los tres grandes ejemplos que conozco son los siguientes:

• Resultados de la independencia sobre $\mathsf{ZFA}$ son mucho más fáciles de establecer que sobre $\mathsf{ZF}$ . (Por supuesto, a través de Jech-Sochor/Pincus, muchos de estos resultados de independencia pueden "trasladarse" a $\mathsf{ZF}$ pero $(i)$ no todos pueden serlo, $(ii)$ que requiere un trabajo serio y llegó mucho más tarde, y $(iii)$ Creo que sigue siendo justo decir que los argumentos originales tienen un "sabor" propio).

• Cuando nos fijamos en las teorías de conjuntos muy débiles (en torno al nivel de $\mathsf{KP}$ ), la existencia de urelementos tiene sus ventajas técnicas que los convierten en la opción "correcta". El excelente libro de Barwise Conjuntos y estructuras admisibles incluye algún debate sobre este punto. Cito textualmente capítulo $1$ :

  • "Se puede cometer un error de simplificación. En primer lugar, hemos eliminado los urelementos de $\mathsf{ZF}$ porque $\mathsf{ZF}$ es tan fuerte. Cuando entonces nos debilitamos $\mathsf{ZF}$ a $\mathsf{KP}$ debemos recordar volver a examinar la justificación de la prohibición de los urelementos. Al hacerlo, descubrimos que la justificación ha desaparecido por completo. [... L]a principal ventaja [de permitir los urelementos] es que nos permite formar, para cualquier estructura $\mathfrak{M}=\langle M, R_1,...,R_k\rangle$ un conjunto admisible especialmente importante $\mathbb{HYP}_\mathfrak{M}$ sobre $\mathfrak{M}$ ."

• Considerando teorías de conjuntos alternativas, la teoría $\mathsf{NF+AC}$ es rotundo y complicadamente incoherente y la coherencia de $\mathsf{NF}$ sigue abierta (que yo sepa, la prueba de Holmes aún no ha sido plenamente aceptada). Sin embargo, las respectivas variantes que permiten la urelementación $\mathsf{NFUC}$ y $\mathsf{NFU}$ se demuestra fácilmente que son consistentes en relación con las teorías de conjuntos débiles.

Tengo curiosidad por saber qué otros ejemplos puede haber por ahí:

¿Cuáles son algunos ejemplos en los que resulta especialmente cómodo, incómodo o simplemente diferente trabajar con urelementos que sin ellos?

Para ser claro, en realidad sólo estoy interesado en puramente matemático - ¿quizás "técnico" sea más apropiado? - consideraciones. La cuestión de si la teoría de conjuntos con o sin urelementos es más "natural" es interesante, pero no es el tipo de cosas sobre las que estoy preguntando aquí. Tampoco estoy preguntando sobre cuestiones históricas en torno a la decisión de no permitir urelementos (aunque, de nuevo, es un tema interesante).

Answer 1

En su trabajo de tesis, Bokai Yao ha investigado la naturaleza de la teoría de conjuntos de urelementos, en particular en el contexto de una clase propia de urelementos. Véase un preprint en:

• Bokai Yao, Forzar con urelementos , (2022).

Hay una sutileza sorprendente en las formulaciones precisas de la teoría: si no se tiene cuidado, muchos principios que se esperaban equivalentes resultan no serlo.

• En particular, el axioma de sustitución no implica colección sobre los otros axiomas naturales, cuando hay urelementos. (folklore)
• Con sólo la formulación de reemplazo, es consistente tener una clase propia de urelementos, aunque cada conjunto sólo tiene finitamente muchos urelementos. (folklore)
• Incluso con la colección, es coherente que exista una clase propia de urelementos, aunque cada conjunto sólo tenga un número contable de urelementos.
• las diversas formas del axioma de elección global ya no son equivalentes, cuando hay una clase adecuada de urelementos.
• El esquema DC no es demostrable en ZFCU, cuando hay urelementos, aunque se tenga el axioma de elección, el principio de orden de pozo y más. En concreto, el $\omega$ -DC no es demostrable en la teoría de sólo sustitución, y la $\alpha$ -El esquema CDC no es demostrable incluso cuando se añade el axioma de colección.

Aquí está el diagrama de Yao que muestra algunas de las teorías que separa:

ZFCU ${}_\text{R}$ es la teoría de conjuntos urelementales con sustitución, pero no colección, y con AC. RP es el principio de reflexión; Cola afirma que todo conjunto de urelementos tiene una cardinalidad de cola (una cardinalidad mayor de urelementos disjuntos de él); Plenitud afirma que para todo cardinal $\kappa$ existe un conjunto de $\kappa$ muchos urelementos; Closure afirma que los cardinales realizados como conjuntos de urelementos son cerrados bajo conjuntos supremos; Scatter (también llamado duplicación) afirma que para cada conjunto de urelementos, existe un conjunto equinumérico disjunto de urelementos.

En mi opinión, la lección central es que es un asunto bastante sutil encontrar la teoría adecuada para la teoría de conjuntos con urelementos, y el problema sólo se agrava si se trabaja sobre teorías débiles. Muchos principios esperados se tuercen, y es ingenuo esperar simplemente tomar una teoría dada y añadirle urelementos sin tener en cuenta estas cuestiones sutiles.

Yao y yo también tenemos un artículo conjunto en el que consideramos los urelementos en el contexto de varias teorías de conjuntos de segundo orden, como la teoría de conjuntos de Kelley-Morse con urelementos.

• Joel David Hamkins y Bokai Yao, Reflection in second-order set theory with abundant urelements bi-interprets a supercompact cardinal. 2022. To appear in the JSL. arxiv:2204.09766

De nuevo hay una separación de teorías, y el resultado principal tiene que ver con la sorprendente fuerza del principio de reflexión de segundo orden cuando hay una clase propia de urelementos, en particular cuando esta clase tiene un tamaño mayor que Ord. El resultado principal es que la fuerza de la reflexión con el axioma de los átomos abundantes implica la consistencia de un cardinal supercompacto.

La primera parte de nuestro trabajo ofrece una serie de resultados de bi-interpretabilidad, mostrando cómo varias teorías de conjuntos puros son bi-interpretables con las correspondientes teorías de urelementos. Tales resultados proporcionan una respuesta negativa a su pregunta, en el sentido de que en el contexto en el que el resultado de bi-interpretación es aplicable, no hay nada en juego en la elección entre las teorías de conjuntos puros y las teorías de urelementos - las teorías bi-interpretables tienen el mismo contenido semántico y pueden ser vistas como traducciones unas de otras.

Nuestra conclusión filosófica final subraya que para que la teoría de conjuntos de urelementos sea realmente útil, es decir, no traducible como teoría de conjuntos pura, hay que tener algunos conjuntos raros de urelementos.

Además, la bi-interpretabilidad de muchas formulaciones naturales de urelementos de conjuntos con las correspondientes teorías puras de conjuntos, como en los teoremas 1 y 16, es en sí misma una explicación de cómo se puede prescindir de esas concepciones de urelementos en los fundamentos de las matemáticas -cualquier estructura matemática que se encuentre en las teorías de conjuntos de urelementos puede encontrarse mediante la bi-interpretación también en las correspondientes teorías puras de conjuntos. Y los teoremas 20 y 30 muestran que esto sigue siendo cierto incluso cuando se añaden abundantes urelementos y reflexiones de segundo orden.

Si las teorías de conjuntos de urelementos han de desempeñar un papel indispensable en los fundamentos de las matemáticas, por tanto, no debe ser con esas teorías, sino con teorías de conjuntos de urelementos que no son bi-interpretables con una teoría de conjuntos pura y quizás no interpretables en absoluto en ninguna teoría pura de conjuntos. Pero en este caso parece que las teorías de conjuntos de urelementos deben implicar conjuntos de urelementos mucho más extraños, ni bien ordenables ni siquiera equinumerables con ningún conjunto puro. Las estructuras construidas sobre tales dominios no serán isomorfas con ninguna estructura que pueda entre los conjuntos puros. Pero, ¿cuáles son esos urelementos extraños que dan lugar a estos conjuntos extraños? Uno quiere una explicación de por qué deberíamos necesitar o esperar encontrar encontrar tales conjuntos en los fundamentos de las matemáticas. ¿Qué estructuras matemáticas representarán?