citación para la primera declaración de la Re(s) = 6 conjetura sobre los ceros de Ramanujan L función

Question

Hola, para la bibliografía de un artículo que estoy escribiendo busco una cita para la primera declaración de la conjetura de que los ceros no triviales de $F(s) = \sum_n\tau(n)n^{-s}$ se encuentran en la línea de Re(s) = 6. (Aquí tau es el Ramanujan función tau.)

Gracias.

Brent Barry

Editar: Me siento (y la gente ha dicho en la impresión) que Ramanujan debe haber hecho la conjetura de sí mismo, pero no he sido capaz de localizar la declaración. Tan lejos como puedo ver no es en el papel (#18 de los collected Papers, "En ciertas funciones aritméticas") en el que define la serie y las conjeturas de Euler producto.

Answer 1

Tal vez no una respuesta a su pregunta, pero, sin duda.

En sus Doce Conferencias, Hardy habla sobre la "Ramanujan hipótesis" en el sentido de que $$ |\tau(p)|\le2p^{11\over 2} $$ para cada prime $p$, y dice que

este es el más fundamental de los problemas sin resolver presentada por la función.

Él debe haber estado hablando acerca de Ramanujan del 1916 papel en el que él también conjeturó el multiplicativity y las congruencias de la $\tau$-función.

El multiplicativity fue establecido por Mordell (1918) el uso de lo que hoy llamaríamos los operadores de Hecke, las congruencias fueron estudiados por Swinnerton-Dyer y Serre en los primeros años 70, en última instancia conduce Serre a su modularidad conjetura como demostró recientemente por Khare--Wintenberger (2009), y la estimación de $|\tau(p)|\le2p^{11\over 2}$, seguido de Deligne de la prueba (1973) de las conjeturas de Weil.

No está mal, tan lejos como las matemáticas inspirada en un único documento de va.

Adenda. La estimación de $|\tau(p)|\le2p^{11\over 2}$ aparece como la fórmula (104) en la página 153 de Ramanujan los Papeles Recogidos como `altamente probable".

Answer 2

Sin duda, esto fue creído por la palabra de la boca antes de que alguna vez se fijó en la impresión. En cualquier caso, en Ogg del libro de 1969 Formas Modulares y de Dirichlet de la Serie, se dice que hay infinitamente muchos ceros en la línea de Re(s) = 6. El primer par de ceros en esa línea se dan en

R. Spira, el Cálculo de la Ramanujan \tau-Dirichlet de la Serie, Matemáticas. Comp. 27 (1973), 379--385.

Los primeros tres ceros no triviales en la crítica de la tira son de aproximadamente

6 + 9.222379 i, 6 + 13.907549 i, 6 + 17.442776 yo.

Answer 3

Echa un vistazo J.-P. Serre, Zeta y L-funciones, Aritmética Geometría Algebraica, Harper and Row, Nueva York, 1965, pp 82-92. MR 33 #2606.

Creo que los estados HR global zeta funciones de variedades. Ahora, como lo demuestran Deligne, L-funciones de las formas modulares son factores de zeta funciones de ciertas fibra poderes de la universal de curva elíptica sobre un adecuado modular de la curva.

Edit: fibra de poderes (aka Kuga-Sato variedades), no simétrica poderes. Gracias, Anweshi.