¿Cómo resolver este problema algebraico sobre restos de polinomios?

Question

Pregunta :

Mi enfoque :

Ahora como tenía que obtener un resto de $\frac{(x-1)^{2017}}{x^2 - x +1}$ Por lo tanto, podría escribir esto como $\frac{(x-1)^{2017}}{(x - 1)^2 + x}$

ahora sustituyo $t = (x-1)$ Así que $\frac{(x-1)^{2017}}{(x - 1)^2 + x}$ podría escribirse como $\frac{t^{2017}}{t^{2} + t + 1}$

A partir de aquí podemos obtener fácilmente el resto mediante la propia división simple, de modo que $P^{1}(x) = -(t+1)t^{2015} = -x(x-1)^{2015}$

Puesto que necesitamos $P^{2017}(2016)$ utilizando los valores obtenidos anteriormente $P^{1}(x)$ Primero obtuve $P^{1}(2016) = -2016(2015)^{2015}$ .

Del mismo modo $P^{2}(x) = -P^{1}(x)(P^{1}(x) - 1)^{2015}$ por definición de la pregunta, pero no hay otra forma de simplificarlo, y además $P^{n}(x)$ se hace más y más grande a medida que $n$ aumenta.

Creo sinceramente que este enfoque es erróneo, así que ¿podría ayudarme con esta pregunta?

Answer 1

Pista:

Querrás decir resto, no cociente.

$t^3\equiv1\pmod{t^2+t+1}$

En $3|2016, t^{2016}\equiv1$

$\implies t^{2017}\equiv t$

Answer 2

$p(x) = q(x) d(x) + P^1(x)$

$P^{1}(x)$ es como mucho un polinomio de 1 grado

Si $\omega$ es una raíz de $d(x).$ $p(\omega) = P^1(\omega)$

De ello se desprende $P^{1}(\omega_1), P^{1}(\omega_2)$ y la línea que los separa.

$\omega_1, \omega_2 = \frac 12 + i \frac {\sqrt 3}{2}, \frac 12 - i \frac {\sqrt 3}{2}$

$p(\omega_1) = $$ (-\frac 12 + i \frac {\sqrt 3}{2})^{2017}\frac e^{\frac {2017\cdot2 \pi}{3}\frac {2017\cdot2 \pi}{3} -\frac 12 + i \frac {\sqrt 3}{2}\frac {2017\cdot2 \pi}{3} \omega_1 - 1$

$p(\omega_2) = \omega_2 - 1$

$P^1(x) = x-1$

$P^2(x) =$$ P^1(P^1(x))\\ {\} x-2$

$P^{k}(x) =x-k$

$P^{2017}(2016)=-1$