(La pregunta está en la parte inferior del post.) Aquí está un "natural" resoluble 17-th deg eqn con coeficientes pequeños:
$$\begin{align*} x^{17}-6 x^{16}&-24 x^{15}-42 x^{14}-31 x^{13}-23 x^{12}-7 x^{11}-x^{10}\\ &\quad-4 x^9-11 x^8-7 x^7-13 x^6-x^5+x^3+x^2+x-1 = 0 \quad\text{(eq.1)} \end{align*}$$
Su raíz real única es exactamente,
$$x = \frac{\zeta_{48} \eta(\tau)}{\sqrt{2}\,\eta(2\tau)} = 9.1630942 \dots$$
con raíz de unidad $\zeta_{48} = \exp(2\pi i/48)$ El Función eta de Dedekind $\eta(\tau)$ , $\tau = (1+\sqrt{-d})/2$ y $d = 383$ . Este $d$ tiene número de clase $h(-d) = 17$ .
Para solucionarlo, suprima la ec.1 (deshágase de su $x^{n-1}$ ), dejando que $x = (y+6)/17$ para conseguirlo, $$\begin{align*} y^{17}&-11832 y^{15}-1124346 y^{14}-55393735 y^{13}-1784741617 y^{12}\\ &\quad-41171464807 y^{11}-711423456455 y^{10}-9455898295636 y^9-99724287747103 y^8\\ &\quad 887992943070295 y^7-7665207188897171 y^6-70479807472769473 y^5\\ &\quad -592167373130143650 y^4-3496187093606980919 y^3-8695712981307573757 y^2\\ &\quad +68265051092799270505 y-427806967360317821039 = 0 \qquad \text{(eq.2)} \end{align*}$$ Su resolvente de 16 grados, un polinomio con coeficientes INTEGER, lo llaman $R_{16}$ tiene raíces,
$$\begin{align*} z_k &= [(y_1 + w^k y_2 + w^{2k} y_8 + w^{3k} y_7 + w^{4k} y_{16} + w^{5k} y_4 + w^{6k} y_{12} + \\ &\qquad + w^{7k} y_{15} + w^{8k} y_{11} + w^{9k} y_{10} + w^{10k} y_{14} + w^{11k} y_{13} + w^{12k} y_5 +\\ &\qquad + w^{13k} y_{17} + w^{14k} y_6 + w^{15k} y_9 + w^{16k} y_3)/17]^{17} \end{align*}$$
para $k = 1,\dots,16$ donde w es cualquier raíz 17 compleja de la unidad.
Obsérvese la disposición específica de los $y_n$ . Existen $16! \approx 2 \times 10^{13}$ posibles permutaciones del $y_n$ y de ese enorme número, hay sólo 16 tal que $R_{16}$ tiene coeficientes enteros, y hemos dado uno de ellos. Por supuesto, se utilizó un atajo para encontrarlo, porque aunque tu ordenador pueda comprobar un millón de permutaciones por segundo, aún tardaría unos 8 meses en recorrerlas todas. El atajo tardó menos de dos horas en encontrarse $R_{16}$ .
En $y_n$ sigue al objeto raíz Raíz[poli, n] ordenación en Mathematica. Aproximadamente, estos son,
$$\begin{align*} y_1 &= 149.7726\\ \{y_2, y_3\} &= -27.62 \mp 18.49i\\ \{y_4, y_5\} &= -21.61 \mp 7.52i\\ \{y_6, y_7\} &= -16.58 \mp 6.34i\\ \{y_8, y_9\} &= -10.57 \mp 15.32i\\ \{y_{10}, y_{11}\} &= -5.02 \mp 13.71i\\ \{y_{12}, y_{13}\} &= -2.34 \mp 13.15i\\ \{y_{14}, y_{15}\} &= 2.57 \mp 2.60i\\ \{y_{16}, y_{17}\} &= 6.31 \mp 7.04i \end{align*}$$
$R_{16}$ tiene extremadamente coeficientes enteros grandes, siendo el mayor el término constante de 248 dígitos $429534618434587^{17}$ que, naturalmente, es una 17ª potencia. (Nota: $R_{16}$ puede formarse fácilmente utilizando una precisión de 500 dígitos o más en el $y_n$ y multiplicando los 16 factores para formar el polinomio).
El polinomio $R_{16}$ se puede factorizar en dos octos sobre la extensión radical $\sqrt{17}$ . Esto, a su vez, puede factorizarse en 2 cuárticos sobre $\sqrt{2(17+\sqrt{17})}$ . Esto se puede factorizar aún más en 2 cuadráticas utilizando una expresión implicada en la raíz 17 de la unidad. Aparentemente, para resolver $R_{16} = 0$ sólo se necesitan raíces cuadradas de raíces cuadradas de raíces cuadradas, etc.
La raíz real de la ec.2 en radicales es entonces,
$$y_1 = {z_1}^{1/17} + {z_2}^{1/17} + {z_3}^{1/17} + \dots + {z_{16}}^{1/17} = 149.7726 \dots$$
Problema : Expresar las raíces de este particular $R_{16}$ puramente en términos de la raíz 17 compleja de la unidad. (Si alguien sabe cómo ponerse en contacto con el matemático Peter-Lawrence Montgomery, probablemente él sabrá cómo, ya que ha hecho algo parecido con una raíz séptica y la raíz 29 de la unidad).
