Solución de forma cerrada para el PIV (fácil a primera vista) $wu' =(2-w) u$ , $ww'=u-w$

Question

Consideremos el PIV autónomo no lineal de 1er orden:

\begin{align*} u'(t) & = \frac{(2-w) u}{w} \\ w'(t) & = \frac{u-w}{w} \end{align*} $t > 0$ con $u(0)=w(0)=0$ . Sabemos que $t = 0$ es un punto singular del sistema y los comportamientos asintóticos $u = 3w = 6t$ son válidos para $t \ll 1$ .

Observando el retrato de fase, vemos que el punto crítico $u = w = 2$ es un foco estable del sistema. Eso me permite decir que para $t \to \infty$ , $u$ y $w$ converge al valor $2$ . Puedo soportar esto numéricamente pero tratando de derivar una solución analítica para todos los $t$ parece imposible.

Tanto Matlab como Mathematica me dicen que no existe tal solución para el sistema. He intentado una variedad de cambio de variables, que me llevó a ninguna parte, y dividir formalmente las ecuaciones para obtener:

$$ \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} w} = \frac{(2-w) u}{u-w}, \quad u(0) = 0$$

Soy (y también lo es el Sr. Mathematica) completamente incapaz de resolver esta ecuación aunque parece más fácil (al menos para el ojo inexperto).

Mi pregunta es,

• ¿Debo renunciar a resolver esta ecuación algebraicamente y optar por la numérica?
• ¿Hay algún cambio de variables que me facilite la vida?

Se agradece profundamente cualquier sugerencia.

Answer 1

Es posible separar $u$ y $w$ fácilmente para su sistema:

$\begin{cases} wu'=(2-w)u \\ ww'=u-w \end{cases}\implies \begin{cases} u'=(2-w)(w'+1) \\ u=w(w'+1) \end{cases}$

A continuación, podemos aislar $w$ así : $\quad w'(w'+1)+ww''=(2-w)(w'+1)$

Pero me temo que esta EDO no es mucho más sencilla de resolver aunque sea en una sola variable.

Answer 2

Hay dos intentos diferentes de atacar la ecuación. Pero ambos son infructuosos.

$${\bf Attempt\ 1.\ To\ full\ differencial}$$ Sea $\ v=w-2,\ $ entonces $$ \begin{cases} u'=-\,\dfrac{v}{v+2}\,u\\[4pt] u = (v'+1)(v+2), \end{cases}\rightarrow \begin{cases} v''(v+2) + v'(v'+v+1) + v = 0\\ u = (v'+1)(v+2), \end{cases} $$ $$\left(\left(v'+\frac{v}2\right)(v+2)\right)' + v = 0,$$ y esto parece como el máximo de lo posible.

$${\bf Attempt\ 2.\ Substitution.}$$ Sea $\dot a = \frac{da}{dt},$ entonces como se muestra $$u = w(\dot w +1),\quad \dot u = (2-w)(\dot w+1),$$ $$w\ddot w+ (\dot w + w - 2)(\dot w+1) = 0.$$ Eso significa que $$w\dot y + (y+w-2)(y+1) = 0,$$ donde $$y=\dot w.$$ Si considerar $y$ en función de $w,$ entonces $$\dot y = \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dw}\cdot\dfrac{dw}{dt} = y'y,$$ $$wyy'+(y-w-2)(y+1) = 0,$$ $$y(wy'+ y-w-1) = w+2,$$ $$y((wy)'-w-1) = w+2.\qquad(1)$$ La ecuación de Homogenius es: $$y((wy)'-w-1) = 0.$$ Solución no trivial: $$wy = \frac12w^2 + w + C_1,$$ $$y = \frac12w+1+\dfrac {C_1}w.$$ Utilizando el método de variación constante: $$y=\frac12w+1+\dfrac zw.$$ Sustitución a $(1)$ da: $$\left(\frac12w+1+\dfrac zw\right)z' = w+2,$$ $$(2z+w^2+2w)z' = 2(w^2+2w),$$

pero una mayor simplificación parece imposible.